Pho.rs: Давление в шарике

A1 ^0.30 Определите внутренний диаметр $D_\mathrm{in}$ шприца. Зарисуйте установку.

A distance between marks $0~\mathrm{ml}$ and $10~\mathrm{ml}$ is $5.7~\mathrm{cm}$.
\[ D_\mathrm{in}=2 \sqrt{\frac{10~\mathrm{cm}^3}{\pi \cdot 5.7~\mathrm{cm}}} = 1.48~\mathrm{cm}\]

A2 ^0.70 Определите внешний диаметр $D_\mathrm{out}$ шприца. Зарисуйте установку.

A length of thread, which is wrapped 21 times around syring is $4 \times 28.9~\mathrm{cm}$,

\[D_\mathrm{out}=\frac{4 \times 28.9~\mathrm{cm}}{21\pi} = 1.75~\mathrm{cm}\]

A3 ^0.30 Определите толщину $t$ стенки шприца. Зарисуйте установку.

\[t = \frac{D_\mathrm{out}-D_\mathrm{in}}{2}=0.14~\mathrm{cm}\]

A4 ^0.30 Определите внутренний диаметр $d_\mathrm{in}$ трубки.

If we push $2~\mathrm{ml}$ of water into the tube it forms a column of length $l=29.9~\mathrm{cm}$. Thus,
\[d_\mathrm{in} = 2 \sqrt{\frac{2~\mathrm{cm}^3}{\pi \cdot 29.9~\mathrm{cm}}}=0.29~\mathrm{cm}\]

B1 ^2.80 Постепенно сдувайте шарик, оттягивая его край от шприца, на котором он сидит, и измерьте зависимость разности высот между уровнями воды $h$ от радиуса шарика $R$.

Выполните 3 измерения при $R>10~\text{см}$, 10 измерений при $4.0~\text{см}< R \leq 10~\text{см}$ и 3 измерения при $R \leq 4.0~\text{см}$. Зарисуйте установку.

Будьте внимательны, чем меньше шарик, тем быстрее он сдувается.

Let's denote the length of the thread, wrapped around the balloon as $L$. Consequently, $R=L/(2 \pi)$.

$L,~\mathrm{cm}$	$h,~\mathrm{cm}$	$L,~\mathrm{cm}$	$h,~\mathrm{cm}$
$4 \times 17.5=70$	17.6	$2 \times 20.1 = 35.2$	22.6
$4 \times 16.8=67.2$	16.3	$2 \times 20.1 = 33.6$	23.0
$4 \times 15.2=60.8$	15.5	$2 \times 20.1 = 33.4$	23.4
$2 \times 29.6=59.2$	14.5	$2 \times 20.1 = 30.6$	24.4
$2 \times 26.0 = 52.0$	14.8	28.6	26.5
$2 \times 24.0 = 48.0$	15.2	27.9	26.9
$2 \times 23.1 = 46.2$	16.1	27	28.0
$2 \times 22.6 = 45.2$	15.9	25.9	29.4
$2 \times 22.0 = 44.0$	17.2	24.1	29.7
$2 \times 21.4 = 42.8$	18.1	23.2	28.4
$2 \times 20.6 = 41.2$	19.5	21.6	26.1
$2 \times 20.1 = 40.2$	20.3	20.6	23.2
$2 \times 19.5 = 39.0$	21.5	19.1	14.8
$2 \times 18.9 = 37.8$	21.9	18.8	6.1
$2 \times 18.3 = 36.6$	22.1	17.6	4.4
$2 \times 18.0 = 36.0$	22.3

B2 ^1.80 Постройте график зависимости избыточного давления $\Delta p$ в шарике от его радиуса $R$.

Ответ:

B3 ^0.10 Какое максимальное давление $\Delta p_\mathrm{max}$ достигается в шарике в измеренном диапазоне размеров?

Ответ: \[\Delta p_\mathrm{max}=2.92~\mathrm{kPa}\]

B4 ^0.20 Чему равна $\delta$, если объем стенок сферы не меняется при растяжении? Ответ выразите через $\lambda$ и $\delta_0$.

\[V = \delta_0 a^2 = \delta (\lambda a)^2 \quad\]

Ответ: \[\delta = \delta_0 / \lambda^2\]

Β5 ^2.20 Постройте график зависимости $\Delta p\cdot R^3$ от $R$. Найдите параметры прямой, описывающей линейный участок зависимости.

Ответ: \[\mathrm{slope} = 140~\mathrm{kPa} \cdot \mathrm{cm}^2=14.0 ~\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{m}^2, \quad \mathrm{offset}=-385~\mathrm{kPa}\cdot\mathrm{cm}^3 = - 3.85 \cdot 10^{-4}~\mathrm{Pa} \cdot \mathrm{m}^3\]

B6 ^0.20 Чему равен радиус нерастянутого шарика $R_0$?

Ответ: We can determine the value of $R_0$ from the graph in question B2.
\[R_0 = 2.7~\mathrm{cm}\]

B7 ^1.10 Используя график из B6, определите толщину $\delta_0$ стенки нерастянутого шарика.

The angle that subtends the side $a$ of square ellement is $a/R$. The ellastic forces forms angle $a/(2R)$ with the normal to the squre ellement. Thus,
\[4 \cdot \frac{a}{2R} F = \Delta p a^2, \quad \Rightarrow \quad \frac{2 \delta_0 E R_0}{R^3} \left(R-R_0 \right) = \Delta p, \quad \Rightarrow \quad \Delta p \cdot R^3 = 2 \delta_0 E R_0 \left( R - R_0 \right) \]It means, that
\[ \delta_0 = \frac{\mathrm{slope}}{2 E R_0} = 0.13~\mathrm{mm}\]

Давление в шарике

Решение