Оборудование:

• трубка
• бутылка
• сосуд с водой
• шприц
• анализатор спектра звука
• набор мундштуков
• штатив
• штангенциркуль
• электронные весы

Подготовка

Войдите в настройки приложения Spectroid в разделе аудио и установите следующие параметры:

Введение

Звук $-$ физическое явление, представляющее собой распространение в виде упругих волн механических колебаний в твердой, жидкой или газообразной среде. Звуковые волны по-разному взаимодействуют с разными объектами, например резонатором называют систему, которая имеет явно выраженные частоты, которые она усиливает.

По сути, любые колебания воздуха можно представить, как распространение плоских волн с разными частотами. Соответственно резонатором называется система, которая имеет набор таких частот, что волны с этими частотами существенно усиливаются по амплитуде.

Наиболее низкая существенно усиленная частота называется основным тоном. Более высокие существенно усиленные частоты носят названия обертонов. Таким образом, музыкальные инструменты могут звучать на одной и той же ноте – иметь одинаковые частоты основных тонов и восприниматься созвучно, но все же по-разному из-за разной структуры обертонов.

Формальное определение спектра заключается в представлении некоторой функции $f(t)$, как суммы периодичных $e^{i\omega t}$:

\[ f(t) = \sum_{n=1}^N C_n e^{i\omega_n t} = \sum_{n=1}^N \left( a_n \sin \omega_nt + b_n \cos \omega_nt \right)\]

Спектр звука обычно изображается в координатах $10\lg \left(W/W_0\right)$ vs $f$, где $W$ $-$ мощность составляющих звуковых колебаний с частотами лежащими в некотором диапазоне $[\omega_n, \omega_{n+1}]$, $W_0$ $-$ некоторая величина размерности $\text{W}$, на которую происходит нормировка, $f$ $-$ частота. $10\lg \left(W/W_0\right)$ является де-факто безразмерной величиной, но чтобы указать на логарифмическую шкалу и множитель $10$ перед логарифмом, вводится единица измерения децибел.

На картинке выше видно ярко выраженный пик на основной частоте $\approx 200~\text{Hz}$, и следующие за ним на частотах $200 (1 + 2n) ~\text{Hz}, n\in \mathbb{N}$ обертона.

Часть A. Линейный резонатор

Наиболее простой резонатор, используемый человеком для извлечения звуков — обыкновенная труба. Всем известно, что существует большое множество духовых инструментов, в которых резонатором является трубка, снабженная различными технологическими устройствами для изменения частоты звучания. Чаще всего у духовых инструментов есть мундштук, который, как и связки, является первоначалом колебаний струи воздуха в инструменте. Однако, так как струя воздуха в любом случае обладает турбулентностью, а, следовательно, неоднородностью и нестационарностью потока, то даже струя воздуха, выдуваемая нами, обладает некоторым набором звуковых частот (спектром). Набор частот зависит как от характерных размеров струи, так и от ее скорости.

Так, при определённых размерах обычной трубки, простое дуновение в нее уже вызывает ее звучание. То есть, в спектре струи воздуха находится резонансная частота, которую усиливает трубка, и происходит ее звучание, которые мы способны уловить ухом.

A1  ^0.50 Поднесите трубку ко рту. Направляя струю воздуха вдоль открытого конца трубы, подуйте. Если приноровиться, то трубка начинает звучать.

Основная частота звучания $f$ трубки зависит от ее длины. Заливая в трубку воду, можно изменять ее эффективную длину $l$ (длину полости в трубке).

Снимите зависимость частоты звучания трубки $f$ от ее эффективной длины $l$.

A2  ^1.00 Для некоторого $l_0$ экспериментально измерьте отношения частоты обертонов $f_i$ к частоте основного тона $f$.

В линейном резонаторе усиливаются частоты волн, соответствующие стоячим волнам. Стоячая волна $-$ явление сложения плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует. Рассмотрим падающую и отраженную волну в одномерном случае:
\[
\begin{cases}
u_1(x,t) = u_0 \sin (\omega t - kx) \\
u_2(x,t) = u_0 \sin (\omega t +\Delta \varphi+ kx)
\end{cases}
\]
Их сумма $u(x,t) = u_1 (x,t) + u_2(x,t)$ имеет следующий вид:
\[ u(x,t) = 2 u_0 \sin( \omega t + \frac{\Delta \varphi}{2}) \cos (kx). \]

A3  ^1.00 Постройте теорию, согласно которой можно связать эффективную длину $l$ и частоту основного тона $f$, частоты обертонов $f_i$. Проверьте теорию в части соотношения между частотами основного тона и обертонов для некоторого $l$.

A4  ^1.00 Проверьте теорию в части зависимости частоты основного тона $f$ от $l$ с помощью построения линеаризованного графика.

Примечание. Делайте паузы между измерениями. Слишком частое выдувание воздуха может привести к головокружению.

A5  ^0.50 Закончите подтверждение теории тем, что получите экспериментальное значение для скорости звука $c$ и сравните его с теоретическим значением $\sqrt{\dfrac{\gamma RT}{\mu}}$

Часть B. Объёмный резонатор

В качестве объемного резонатора будем использовать пластиковую бутылку. Если в нее подуть таким же образом, как и в трубку в пункте 1 предыдущей части, то она звучать с явно различимым основным тоном.

B1  ^0.30 Измерьте объем бутылки $V_0$, а также диаметр $D_0$ и высоту горлышка $h_0$ бутылки.

Теоретическое описание

Для теоретического нахождения частоты основного тона такого резонатора воспользуемся следующей моделью. Представим, что воздух в горлышке бутылки является «поршнем», закрывающим остальной воздух в бутылке. Масса «поршня» соответствует массе воздушного цилиндра высотой $h+\Delta h$ и площадью $S$, где $h$ $-$ высота горлышка, $\Delta h$ $-$ добавка, зависящая от площади горлышка, $S$ $-$ площадь горлышка. Такой «поршень» может перемещаться вдоль горлышка бутылки. При движении вниз или вверх от положения равновесия на «поршень» будет действовать возвращающая сила со стороны остального газа объемом $V$ в бутылке. Таким образом при выводе «поршня» из положения равновесия, возникнут колебания.

B2  ^0.20 Каким процессом следует описывать сжимание газа в бутылке $-$ изотермическим или адиабатическим? Ответ поясните.

B3  ^1.50 Запишите формулу для частоты колебаний такого поршня (частоты основного тона бутылки) через следующие данные: объем воздуха внутри бутылки $V$; высота $h$ горлышка бутылки; добавка $\Delta h$; диаметр горлышка $D$ и различные параметры воздуха.

Зависимость от объёма

B4  ^1.00 Аналогично первой части эффективный объем $V$ (объем полости) бутылки можно изменять, доливая в бутылку воду. Снимите зависимость частоты основного тона $f$ бутылки от ее эффективного объема $V$.

B5  ^1.00 Постройте график $f$ от $V$ в координатах, в которых он должен быть линейным согласно теории. Сравните теоретические параметры прямой и экспериментальные.

Зависимость от высоты горлышка

B6  ^1.00 Снимите зависимость частоты основного тона пустой бутылки $f$ от высоты горлышка $h$ бутылки. Для изменения высоты горлышка используйте набор мундштуков разной высоты. Вставляйте их согласно рисунку. Важно, чтобы нижняя часть мундштука всегда располагалась на одном уровне относительно горлышка бутылки. Будьте аккуратны, если вы уроните мундштук в бутылку, то не сможете выполнить работу.

B7  ^1.00 Постройте график $f$ от $h$ в координатах, в которых он должен быть линейным согласно теории.

Зависимость от диаметра горлышка

B8  ^1.00 Снимите зависимость частоты основного тона пустой бутылки $f$ от диаметра горлышка $D$. Для изменения диаметра горлышка используйте набор мундштуков с отверстиями разного диаметра. Вставляйте их также согласно рисунку.

B9  ^1.00 Постройте график $\Delta h$ vs $D$.