A1  ^?? Покажите, что в изотропной среде решения уравнения Максвелла имеют вид продольных плоских волн, то есть плоских волн, у которых электрический вектор $\vec E$ параллелен волновому вектору $\vec k$. Каким условиям должен удовлетворять показатель преломления среды, чтобы эти волны могли распространяться в ней?

Уравнения Максвелла для плоской монохроматической волны с угловой частотой $\omega$: $$\vec{E} \times \vec k =-\mu_{0} \omega \vec{H}, \tag{1}$$ $$\vec{H} \times \vec k =\omega \vec{D}. \tag{2}$$ $\vec D$ – вектор смещения, связанный с $\vec E$: $$\vec{D}=\varepsilon \vec{E}=\varepsilon_{r} \varepsilon_{0} \vec{E}=\varepsilon_{0} \vec{E}+\vec{P} \tag{3}$$ так что относительная диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_{r}$ и поляризация среды $\vec{P}$ связаны соотношением $$\vec{P}=\left(\varepsilon_{r}-1\right) \varepsilon_{0} \vec{E} \tag{4}$$ Условие существования продольной волны, $\vec E || \vec k$, приводит, в соответствии с $(1)$, к равенству $\vec{H}=0$. Поэтому из $(2)$ следует, что $\vec{D}=0$, и из $(3)$ $$\varepsilon_{0} \vec{E}=-\vec{P} \tag{5}$$ Направления векторов $\vec k$, Е и $\vec{P}$ указаны на (рис. 1). Уравнение $(5)$ при подстановке в $(4)$ приводит к $$\varepsilon_{r}=0 \tag{6}$$

B1  ^?? Выведите уравнение, определяющее показатель преломления плазмы для монохроматической волны. Пренебрегите столкновениями ионов и электронов. Покажите, что ионным вкладом в поляризацию вообще можно пренебречь. При каких условиях в плазме устанавливаются продольные колебания электрического поля? Определите фазовую и групповую скорости соответствующих волн.

Столкновениями ионов и электронов можно пренебречь, если рассматривать их как свободные частицы. При таком условии смещение $s$ одной частицы с массой $m_{i}$ и зарядом (алгебраическая величина) $e_{i}$ определяется уравнением $$m_{i} \frac{\mathrm d^{2} s}{\mathrm d t^{2}}=e_{i} E_{m} \sin \omega t$$ Этому соответствует электрический дипольный момент $$d=e s=\frac{e^{2}}{m \omega^{2}} E_{m} \sin \omega t.$$ Поляризация среды, обусловленная этими заряженными частицами, при наличии $N$ невзаимодействующих частиц в единице объема равна $P=N d$. Из уравнения $(4)$ получаем $$\varepsilon_{r}=1-\frac{e^{2} N_{e}}{\varepsilon_{0} m_{e} \omega^{2}}-\sum_{i} \frac{e_{i}^{2} N_{i}}{\varepsilon_{0} m_{i} \omega^{2}}. \tag{7}$$ Здесь $N_{e}$ и $m_{e}$ относятся к электронам, $N_{i}$, $e_{i}$ и $m_{i}$ – к положительным или отрицательным ионам. Суммирование производится по всем ионам. Поскольку плазма нейтральна, концентрация положительных ионов равна сумме концентраций отрицательных ионов и электронов. Член в уравнении $(7)$, относящийся к ионам, пренебрежимо мал, поскольку массы ионов во много раз больше массы электрона. Принимая это во внимание, найдем, что условие $(6)$ выполняется, если $$\omega=\sqrt{\frac{e^{2} N_{e}}{\varepsilon_{0} m_{e}}}. \tag{8}$$ Это выражение показывает, что $\omega$ не зависит от $\vec k$. Кроме того, фазовая скорость $v_{\varphi}=\omega / \vec k$ не подчиняется соотношениям, выведенным при изучении волн. Групповая скорость $v_{g}=\mathrm d \omega / \mathrm d \vec k$ равна нулю. Видим, что здесь имеют место колебания электрического поля и электронов, а не волны в их обычном понимании.