1  ^?? Получите формулу, позволяющую вычислить коэффициент $\beta$, используя значения плотности $\rho_1$ и $\rho_2$ жидкости, взятые для двух разных температур $T_1$ и $T_2$.
Используя таблицу плотностей, приложенную к условиям задачи, вычислите коэффициент теплового расширения $\beta_{теор}$ воды температуры $T_1=22\;^{\circ}\text{C}$ при нагревании до температуры $T_2=50\;^{\circ}\text{C}$.
Ответ дайте в формате $\beta = x\cdot 10^{-4} \;\dfrac{1}{^\circ \text{С}}$, где $x$ — число, округлённое до тысячных.

Вновь запишем определение коэффициента $\beta$: $$ \beta=\frac{\Delta V}{V_0\; \Delta T}. $$ Выразим объём как отношение массы к плотности: \begin{equation} \beta=\dfrac{\dfrac{m}{\rho_2}-\dfrac{m}{\rho_1}}{\dfrac{m}{\rho_1}(T_2-T_1)},\tag{2} \end{equation} где $\rho_1$ и $\rho_2$ -- плотности воды при температурах $T_1$ и $T_2$ соответственно. Сократим массу $m$ и получим: \begin{equation} \beta=\dfrac{\dfrac{1}{\rho_2}-\dfrac{1}{\rho_1}}{\dfrac{1}{\rho_1}(T_2-T_1)} = \dfrac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2 (T_2-T_1)}.\tag{3} \end{equation} Вычислим коэффициент теплового расширения $\beta_{теор}$ воды температуры $T_1=22~{}^\circ\mathrm{C}$ при нагревании до температуры $T_2=50~{}^\circ\mathrm{C}$. Для этого по таблице определим плотности для соответствующих температур: $$\rho_1 = 997.770 \ кг/м^3,\; \; \rho_2 = 988.037 \ кг/м^3. $$ Подставим величины в формулу $(3)$ и получим значение $\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}$

2  ^?? Проведите необходимые измерения и определите внутренний диаметр $d$ гибкого капилляра.

Для измерения внутреннего диаметра капилляра наберём в миллилитровый шприц воду. С помощью адаптера подключим капилляр к шприцу. Наполним капилляр водой. Измерим по шкале шприца объём воды $v$ в капилляре. Линейкой измерим длину столба $h$ воды в капилляре. 

При объёме $v=(0.26\pm 0.02) \ мл$ и длине столба $h = (35.0\pm0.1)\ см$ получим диаметр \begin{equation} d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм. \end{equation}

3  ^?? Медленно наберите в большой шприц $20~мл$ воды. Следите за тем, чтобы в дальнейшем в шприце не было пузырьков воздуха. Подключите к шприцу гибкий капилляр. Выдавите из шприца в капилляр небольшое количество воды, чтобы длина получившегося столба воды составляла примерно $¾$ длины капилляра. Поместите шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождитесь теплового равновесия между водой в цилиндре и в шприце. Шприц должен быть полностью погружен в воду носиком вверх, капилляр выходит из цилиндра наружу и свисает по стенке цилиндра свободным концом вниз. Сделайте на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды.

Далее налейте во второй пустой мерный цилиндр горячую воду (температура воды должна быть не менее $55\;^{\circ}\text{C}$ и не более $75\;^{\circ}\text{C}$). Переместите шприц с капилляром в горячую воду и пронаблюдайте, как будет меняться длина столба воды в капилляре со временем. Опишите свои наблюдения и объясните физику процесса.

Наберём в большой шприц $20~мл$ воды. Подключим к шприцу гибкий капилляр. Выдавим из шприца в капилляр небольшое количество воды, чтобы длина получившегося столба воды составляла примерно $3/4$ длины капилляра. Поместим шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождёмся теплового равновесия между водой в цилиндре и в шприце. Об установлении теплового равновесия свидетельствует неподвижность границы столба воды в капилляре. Шприц погружаем в воду носиком вверх, капилляр при этом должен выходить из цилиндра наружу и свисать по стенке цилиндра свободным концом вниз.

Сделаем на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды.
Далее нальём во второй пустой мерный цилиндр горячую воду, опустим в неё шприц.
Видим, что вначале вода в капилляре быстро устремляется в шприц. Длина столба воды достигает минимального в опыте значения. После этого столб плавно увеличивается в длину.

4  ^?? Снова поместите шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождитесь теплового равновесия. Измерьте температуру воды $T_1$. Сделайте на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды (старые отметки рекомендуем стереть). Обновите горячую воду во втором цилиндре (температура воды должна быть не менее $55\;^{\circ}\text{C}$ и не более $75\;^{\circ}\text{C}$). Переместите шприц с капилляром в горячую воду и дождитесь установления теплового равновесия. Запишите значение установившейся температуры $T_2$ и сделайте на капилляре новую отметку, соответствующую положению конца водяного столба в капилляре. Измерьте длину $l$ капилляра между отметками. Запишите объём воды $V$ в шприце.

Используя уравнение $(1)$, запишем уравнение зависимости изменения объёма воды в системе, образованной шприцем и трубкой, от температуры: \begin{equation} \Delta V = (\beta_{в} - \beta_{ш})V_0 \Delta T.\tag{5} \end{equation} Изменение объёма воды в системе $\Delta V$ определяется изменением длины $l$ и площадью поперечного сечения $S$ столба воды в капилляре: \begin{equation} \Delta V = S \Delta l,\tag{6} \end{equation} \begin{equation} S= \dfrac{\pi d^2}{4}.\tag{7} \end{equation}

5  ^?? Используя формулу расчёта коэффициента объёмного теплового расширения, полученную в теоретической части задачи, а также табличные значения плотности воды $\rho$, рассчитайте коэффициент $\beta_{в}$ теплового расширения воды для температуры $T_1$ при нагревании до температуры $T_2$.

Коэффициент $\beta_{в}$ можно вычислить по формуле $(3)$. Таким образом, проведя изучение зависимости длины столба воды в капилляре от температуры, можно вычислить коэффициент объёмного теплового расширения шприца: \begin{equation} \beta_{ш} = \beta_{в} - \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}.\tag{8} \end{equation} Результаты измерений и вычислений приведены в таблицах.

$V_0,~см^3$	$T_1,^\circ\mathrm{C}$	$T_2,^\circ\mathrm{C}$	$\Delta l,~см$	$\Delta V,~мм^3$	$\beta_{в} - \beta_{ш},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}$	$\beta_{в},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}$	$\beta_{ш},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}$
20.0	22.6	44.8	-3.9	-29.0	-0.65	3.31	3.96
20.0	25.5	47.1	-3.5	-26.0	-0.60	3.53	4.13
20.0	24.3	54.3	-3.3	-24.5	-0.41	3.74	4.15

Использованные табличные значения плотностей, соответствующие температурам $T_1$ и $T_2$:

$T_1,^\circ\mathrm{C}$	$T_2,^\circ\mathrm{C}$	$\rho_1, кг/м^3$	$\rho_2, кг/м^3$
22.6	44.8	997.632	990.297
25.5	47.1	996.916	989.320
24.3	54.3	997.222	986.033

6  ^?? Используя данные, полученные в пунктах $4$ и $5$, рассчитайте коэффициент объёмного теплового расширения шприца $\beta_{ш}$. Считайте, что этот коэффициент теплового расширения не зависит от температуры.

7  ^?? Вылейте воду из капилляра и шприца. Наполните большой шприц глицерином. Выдавите из шприца в капилляр небольшое количество глицерина, чтобы длина получившегося столба жидкости составляла примерно $1/2$ длины капилляра.

Далее проведём аналогичные опыты с глицерином. В этом случае: \begin{equation} \Delta V = (\beta_{г} - \beta_{ш})V_0 \Delta \tag{9} \end{equation}

8  ^?? Повторите эксперимент по изучению теплового расширения жидкости, описанный в пункте $5$, для глицерина. Шприц с глицерином в горячую воду опускайте медленно!
Рассчитайте коэффициент объёмного теплового расширения глицерина $\beta_{г}$. Считайте, что этот коэффициент теплового расширения не зависит от температуры.

Тогда
\begin{equation}
\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}.\tag{10}
\end{equation}Для расчёта $\beta_{г}$ будем использовать среднее значение $\left< \beta_{ш} \right>$.

9  ^?? Повторите опыты по определению коэффициентов объёмного теплового расширения шприца и глицерина ещё раз. Получите новые значения $\beta_{ш}$ и $\beta_{г}$. Посчитайте средние значения соответствующих коэффициентов, полученных в опытах.

Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.

Среднее значение коэффициента теплового расширения глицерина:

$$\left< \beta_{г} \right> = 6.35\cdot 10^{-4} \;\dfrac{1}{^\circ С}$$