В ответе укажите оптические силы для каждой серии с учётом знака. Объясните полученные результаты.
Прикрепим с помощью зажима к линзе линейку. Закрепим рулетку на столе с помощью малярного скотча. Поставим линзу на расстоянии $c=50 \ см$ от края рулетки и места, где в дальнейшем будем располагать наш глаз. Расположим за линзой на расстоянии $a$ второй канцелярский зажим, предварительно измерив его высоту: $x=(51\pm1) \text{ мм}$. Будем наблюдать за изображением зажима в линзе, расположив глаз на уровне края стола (рис. 1 – рис.2).
Измерим зависимость высоты $z$, занимаемой изображением зажима на линейке, от расстояния $a$ между зажимом и линзой (табл. 1).
Таблица 1. Измерения для расположения линзы вогнутой стороной к глазу
$a,~см$ $z,~см$ $x/z$ $\sigma_{x/z}$ 5.0 3.6 1.42 0.07 10.0 2.9 1.76 0.10 15.0 2.4 2.13 0.13 20.0 2.0 2.55 0.18 30.0 1.6 3.19 0.26 40.0 1.2 4.25 0.44
Положение изображения зажима связано с положением источника формулой тонкой линзы: \begin{equation} \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=-|D|.\tag{1} \end{equation} Размер изображения связан с размером источника как: \begin{equation} y=x\frac{b}{a}.\tag{2} \end{equation} Измеряемый линейкой размер изображения канцелярского зажима в линзе $z$ связан с размером изображения как: \begin{equation} z=y\frac{c}{c+b}.\tag{3} \end{equation} Объединим формулы вместе: \begin{equation} z=x\frac{b}{a}\frac{c}{c+b}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+|D|}.\tag{4} \end{equation} И преобразуем к виду: \begin{equation} \frac{x}{z}=1+a\left(\dfrac{1}{c}+|D|\right)\tag{5} \end{equation} Видно, что в координатах $\frac{x}{z}(a)$ зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом: \begin{equation} k=\dfrac{1}{c}+|D|.\tag{6} \end{equation} Заметим, что возможны и другие способы линеаризации. Оценим погрешность расстояния между линзой и зажимом как толщину линзы ${\sigma_a=0,5 \ см}$. Наблюдаемый размер изображения и размер источника имеют погрешность ${\sigma_{xz}=1 \ мм}$. Тогда погрешность величины отношения размеров можно рассчитать как: \begin{equation} \sigma_{x/z}=\frac{x}{z}\sigma_{xz}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).\tag{7} \end{equation} Пересчитаем экспериментальные точки и построим соответствующий график. Проведем аппроксимирующие прямые с максимальным и минимальным угловыми коэффициентами через точку с координатой $(1;0 \ см)$, так как смещение графика в аппроксимирующей функции известно точно. Итого угловой коэффициент графика составит: $$ k=\left(0.075\pm\frac{0.084-0.068}{2}\right)=(0.075\pm0.008) \ см^{-1}. $$ Рассчитаем оптическую силу линзы: \begin{equation} D_1=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(5.5\pm1.0) \ дптр.\tag{8} \end{equation} Погрешность расстояния между линзой и глазом оценим в $\sigma_c=5 \ см$, как характерный размер глазного яблока. Тогда погрешность оптической силы рассчитаем как: \begin{equation} \sigma_D=\sigma_k+\frac{1}{c}\frac{\sigma_c}{c}.\tag{9} \end{equation}
Повторим эксперимент, располагая линзу выпуклой стороной к наблюдателю. Полученные значения внесем в таблицу (табл. 2). В этом эксперименте выберем расстояние от линзы до глаза равным $c=60 \text{ см}$.
Таблица 2. Измерения для расположения линзы выпуклой стороной к глазу
$a$, см $z$, см $x/z$ $\sigma_{x/z}$ 5.0 3.7 1.38 0.06 10.0 2.9 1.76 0.10 15.0 2.4 2.13 0.13 20.0 2.0 2.55 0.18 25.0 1.8 2.83 0.21 30.0 1.6 3.19 0.26 35.0 1.4 3.64 0.33 40.0 1.3 3.92 0.38 45.0 1.1 4.64 0.51 50.0 1.0 5.10 0.61
Найдем значение оптической силы: $$k=\left(0.079\pm\frac{0.089-0.068}{2}\right)=(0.079\pm0.011) \ см^{-1}.$$ Рассчитаем оптическую силу линзы: \begin{equation} D_2=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(6.3\pm1.2) \ дптр.\tag{10} \end{equation} В пределах погрешности проводимого эксперимента достоверно сравнить $D_1$ и $D_2$ не представляется возможным. Однако чаще всего модуль оптической силы $D_2$ оказывается большим модуля оптической силы $D_1$. Этот эффект связан с самим способом измерений. Дело в том, что лучи, идущие от краев источника и попадающие в глаз, проходят достаточно далеко от центра линзы. В этих областях имеют место аберрации, зависящие от направления хода лучей через линзу. Поэтому результат нахождения оптической силы, выполненный авторским методом, может отклоняться от номинальной оптической силы, рассчитанной в параксиальном приближении.
Примечание
Однако, при более детальном рассмотрении хода лучей через реальную линзу (рис. 3) имеющую некоторую толщину, можно заметить, что фокусное расстояние для приосевых пучков лучей совпадает. Проводимые в задаче измерения размеров «изображения» на поверхности линзы, связаны с определением положения границ изображения предмета, размеры которого сопоставимы с размерами линзы. Наблюдение этих границ проводится в области, где проявляется влияние толщины линзы на ход лучей - линзу в данных областях уже нельзя считать тонкой. В связи с этим измеренное значение $D_2$ оказывается заведомо завышенным.
Рисунок носит иллюстративный характер, толщина линзы в центре несколько преувеличена.
