1  ^0.50 Измерьте зависимость отношения амплитуды напряжения $U_1$ на катушке индуктивности к амплитуде напряжения генератора $U_2$ от частоты генератора $f$ в диапазоне частот от $5$ до $50~кГц$.

Проведем измерения, описанные в задании.

Напряжение на катушке можно рассчитать как: $$ U_1=2\pi I f L.\tag{1}$$ Общее напряжение в цепи составляет: $$U_2=I\sqrt{(2\pi f L)^2+R^2}.\tag{2}$$ Преобразуем выражения $$\frac{U_1}{\sqrt{U^2_2-U_1^2}}=\frac{2\pi f L}{R}.\tag{3}$$

2  ^4.00 В каких координатах график измеренной Вами зависимости является линейной функцией? Постройте график в этих координатах и при помощи него определите индуктивность катушки.

Построим график зависимости $\frac{U_1}{\sqrt{U^2_2-U_1^2}}$ от $f$. 

График хорошо описывается прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом $k=5.1 \ мкс$. Тогда индуктивность катушки составит: $$ L=\frac{kR}{2\pi}= 64 \ мкГн.$$

3  ^1.30

Соберем вторую схему и проведем измерение напряжений. Рассчитаем отношение напряжений.

4  ^0.80 Постройте график измеренной зависимости. Как можно заметить, график не является монотонной функцией. Попробуем ввести дополнительный параметр, который может повлиять на поведение схемы при больших частотах.

Построим график отношения напряжений от частоты подаваемого сигнала.

Видно, что график имеет максимум на частоте $f_{max}=3.0 \ МГц$.

5  ^1.30 Катушка индуктивности обладает собственной емкостью $C^*$. Эта емкость возникает из-за близкого расположения проводов в катушке, на поверхности которых во время протекания тока накапливается заряд. Выведите теоретическую формулу, описывающую измеренную в пункте $3$ зависимость, используя индуктивность катушки $L$, сопротивление резистора $R$ и неизвестную собственную емкость катушки $C^*$.

Получим формулу, описывающую отношение напряжений в модели, описанной в условии. Пусть через катушку течет ток $I_L=I_0 \sin{\omega t}$ (см. рис. 4). Тогда напряжение на ней можно рассчитать как: $$U_L= -L \dot I_L = - I_0 L \omega \cos{\omega t}.$$ Это напряжение равняется напряжению на конденсаторе. Тогда ток через конденсатор можно рассчитать как: $$I_C = \dot q_C = C^* \dot U_c = - I_0 L \omega^2 C^* \sin{\omega t},$$ а полный ток, текущий через цепь, может быть найден как их сумма. Определим, чему равняется напряжение на резисторе. $$U_R = I_R C= (I_L+I_C)R = I_0 R (1-L \omega^2 C^*) \sin{\omega t}.$$ Используя формулу для вспомогательного угла, посчитаем напряжение на генераторе: $$U_0 = U_R+U_L = I_0 (1-L \omega^2 C^*) \sin{\omega t}+ - I_0 L \omega \cos{\omega t} = I_0 \sqrt{(1-L\omega^2C^*)^2R^2+(L\omega)^2} \sin{(\omega t +\varphi)}.$$ Требуемые амплитуды оказываются равны $$\begin{matrix} U'_1 = I_0 (1-L \omega^2 C^*),\\ U'_2 = I_0 \sqrt{(1-L\omega^2C^*)^2R^2+(L\omega)^2}\end{matrix}$$ Тогда отношение модулей амплитуд напряжений составит: $$\frac{U'_2}{U'_1}=\sqrt{1+\left(\frac{\omega L}{(1-\omega^2LC^*)R}\right)^2}.\tag{5}$$

6  ^2.10 Объясняет ли полученная в пункте $5$ формула измеренную Вами зависимость? Если да, определите по графику величину параметра $C^*$.

В этом случае функция имеет максимум, отвечающей резонансной частоте. То есть данная модель может на качественном уровне объяснить вид графика измеренной зависимости. Рассчитаем тогда величину собственной емкости катушки индуктивности: $$C^*=\frac{1}{\omega_{max}^2 L}=\frac{1}{4\pi^2 f_{max}^2 L}=44 \ пФ.\tag{6}$$