Pho.rs: Исследование варикапа [mod SPB]

A0 ^0.10 Выразите $\beta$ через $\alpha$ и $V_0$.

1 $\beta=\alpha/V_0$

0.10

A1 ^0.20 Измерьте и/или оцените порядки импедансов $Z_{R_0}$, $Z_L$, $Z_r$, $Z_{C_\text{ш}}$, $Z_{r_0}$.

1 $Z_{R_0}\approx{}10^6~$Ом, $Z_{L}\approx{}10^2...{}10^3~$Ом, $Z_{r}\approx{}10^1~$Ом, $Z_{C_\text{ш}}\approx{}10^0~$Ом, $Z_{r_0}\approx{}10^2~$Ом

5 × 0.04

A2 ^0.10 Как связаны $i$, $i_C$ и $i_L$?

1 Записан первый закон Кирхгофа: $i=i_C+i_L$

0.10

A3 ^0.30 Выразите $i_C$ через $U_{\sim}$, $\dot{U}_{\sim}$, $\alpha$, $C_0$ и $V_0$.

1 Выражение для заряда на варикапе: $q_C=(C_0-\alpha\ln V_0-\alpha U_{\sim} / V_0)(V_0+U_{\sim})$	0.10
2 Путём дифференцирования уравнения из A3.1 с учётом знака получено выражение для $i_C$: $i_C=-\dot{U}_{\sim}(C_0-\alpha(1+\ln V_0)-2\alpha U_{\sim} / V_0)$	0.20

A4 ^0.10 Получите соотношение, связывающее величины $U_{\sim}$, $i_L$, $\dot{i}_L$, $r$ и $L$.

1 Получено соотношение $U_{\sim}+i_L r+L\dot{i_L}=0$

0.10

A5 ^1.00 Получите дифференциальное уравнение на $U_{\sim}$ в следующем виде:
\[ \left[ 1 - \xi(U_{\sim}) \right] \ddot{U}_{\sim} +
\left[ 1 - \xi(U_{\sim}) \right] \cdot 2 \zeta \dot{U}_{\sim} +
\omega_0^2 U_{\sim} = f(t) + \chi \dot{U}_{\sim}^2\]Чему равны $\zeta$, $\omega_0$, $\chi$, $\xi(U_{\sim})$ и $f(t)$?

1 Идея выразить $i_L=i-i_C$, дифференцированием получить $\dot{i_L}$ и подставить обе величины в соотношение из пункта A4	0.20
2 $\zeta=\dfrac{r}{2L}$, $f(t)=\dfrac{\mathcal{E}_0(\omega{}L\sin{\omega{}t}-r\cos{\omega{}t})}{R_0{}L(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}$	2 × 0.10
3 $\omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{L(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}}$, $\chi=\dfrac{2\alpha}{V_0(C_0-\alpha(1+\ln V_0)}$, $\xi(U_{\sim})=\dfrac{2\alpha}{V_0(C_0-\alpha(1+\ln V_0)}U_{\sim}$	3 × 0.20

A6 ^0.20 Проведите пренебрежение в члене $f(t)$.

1 $f(t)\approx{}\dfrac{\omega\mathcal{E}_0\sin{\omega{}t}}{R_0(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}$

0.20

A7 ^0.70 Решите полученное уравнение в нулевом (линейном) приближении, считая $\xi(U_{\sim})\approx 0$ и $\chi \dot{U}_{\sim}^2\approx 0$. Ответ запишите в виде функции $U_{\sim}^{(0)}(t)$.

1 $U_{\sim}^{(0)}(t)=\dfrac{\omega\mathcal{E}_0{}L}{R_0\sqrt{\omega^2 r^2(C_0-\alpha(1+\ln V_0))^2+(\omega^2{}L(C_0-\alpha(1+\ln V_0))-1)^2}}\cdot\cos\left(\omega{}t-\arctan{\dfrac{\omega^2{}L(C_0-\alpha(1+\ln V_0))-1}{\omega{}r(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}}\right)$

0.70

B1 ^1.20 Установите амплитуду напряжения на генераторе $\mathcal{E}_0 = 1.0~\text{В}$. Снимите зависимость резонансной частоты $f_{рез}$ контура от величины постоянного напряжения на варикапе $-V_{0}$ в диапазоне $V_0 \in [0; 6]~\text{В}$.

1 Количество измерений: не менее 11	0.80
2 не менее 9	0.60
3 не менее 7	0.40
4 не менее 5	0.20
5 Есть измерения при $V_0 < 1~\text{В}$; при $V_0 > 5~\text{В}$	2 × 0.20

B2 ^0.90 Предложите линеаризацию зависимости $f(V_0)$. Постройте график линеаризованной зависимости и определите значение коэффициента $\alpha$.

1 Есть указание на высокую добротность контура	0.10
2 Предложена адекватная линеаризация, например, $1/f^2(\ln V_0)$	0.30
3 График линеаризованной зависимости: оси, точки, проведена кривая	3 × 0.10
4 Найдено значение $\chi=[-28;-26]~\text{пФ}$	0.20
5 $\chi=[-30;-24]~\text{пФ}$	0.10

B3 ^1.00 Снимите резонансную кривую, то есть зависимость амплитуды колебаний напряжения на варикапе от частоты генератора, для $V_0=3.0~\text{В}$ и $\mathcal{E}_0=1.0~\text{B}$. Постройте эту кривую на графике. По полученной зависимости определите добротность колебательного контура $Q$.

1 Количество измерений: не менее 15	0.50
2 не менее 11	0.30
3 не менее 7	0.10
4 В районе пика амплитуды ($\pm2~\text{кГц}$) сделано не менее 5 измерений	0.10
5 График кривой: оси, точки, проведена кривая	3 × 0.10
6 По АЧХ найдена добротность $Q\approx{}25$	0.10

B4 ^0.40 Не используя резонансную кривую, то есть по результатам других измерений, вычислите добротность контура.

1 $Q=\dfrac{1}{r_0+r}\cdot\sqrt{\dfrac{L}{C_0}}\approx{}100$

0.40

C1 ^0.60 Запишите вид дифференциального уравнения из пункта A5, проведя пренебрежения A6 и $\xi(U_{\sim})\approx 0$. Коэффициенты $\zeta$, $\omega_0$, $\chi$ и функцию $f(t)$ представьте в развёрнутом виде с использованием $r$, $R_0$, $L$, $C_0$, $V_0$, $\alpha$, $\mathcal{E}_0$, $\omega$.

1 Получено уравнение колебаний $\ddot{U}_{\sim}+\dfrac{r}{L}\dot{U}_{\sim}+\dfrac{1}{L(C_0-\alpha(1+\ln V_0)}U_{\sim}=\dfrac{\omega\mathcal{E}_0}{R_0(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}\sin{\omega{}t}+\dfrac{2\alpha}{V_0(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}\dot{U}_{\sim}^2$

0.60

C2 ^1.00 Пусть частота колебаний внешнего напряжения $\omega=\omega_0$. Найдите решение уравнения колебаний переменной составляющей напряжения на варикапе $U_{\sim}^{(0)} + U_{\sim}^{(1)}$ в первом приближении, считая $U_{\sim}^{(1)} \ll U_{\sim}^{(0)}$. Для упрощения вычислений считайте контур высокодобротным: $\omega_0 r C_0 \ll 1$.

1 Подстановкой $U_{\sim}=U_{\sim}^{(0)}+U_{\sim}^{(1)}$, $\omega=\omega_0$ и с учётом $U_{\sim}^{(1)}\ll{}U_{\sim}^{(0)}$ получено уравнение $\ddot{U}_\sim^{(1)}+\dfrac{r}{L}\dot{U}_\sim^{(1)}+\dfrac{1}{L(C_0-\alpha(1+\ln V_0))}U_\sim^{(1)}=\dfrac{\alpha\mathcal{E}_0^2 L}{V_0R_0^2r^2(C_0-\alpha(1+\ln V_0))^4}\cdot\left(1-\cos2\omega_0{}t\right)$	0.50
2 Найдено $U_\sim^{(1)}=\dfrac{\alpha\mathcal{E}^2_0{}L^2}{3V_0R^2_0{}r^2(C_0-\alpha(1+\ln V_0))^3}\cdot\left(3+\cos{2\omega_0{}t}\right)$	0.50

C3 ^1.20 Установите частоту генератора $\omega = \omega_0$. Выставьте амплитуду колебаний напряжения на генераторе $\mathcal{E}_0=2.0~\text{В}$, а $V_0=3.0~\text{В}$. С помощью функции FFT снимите экспериментальную зависимость амплитуды $A$ колебаний с частотой $2 \omega_0$ от индуктивности в цепи. В окне FFT показывается спектр сигнала, другими словами по горизонтальной оси откладывается частота $f$, а по вертикальной оси откладывается амплитуда составляющей сигнала с частотой $f$ в децибелах.

1 Количество измерений: не менее 4	0.80
2 не менее 3	0.40
3 Использована большая индуктивность	0.40

C4 ^0.80 Получите теоретическое выражение для отношения $\Theta$ амплитуд переменных составляющих $U_{\sim}^{(0)}$ и $U_{\sim}^{(1)}$

1 $\Theta=\dfrac{\alpha\mathcal{E}_0{}L}{3V_0R_0{}r(C_0-\alpha(1+\ln V_0))^2}$

0.80

C5 ^1.00 Для различных комбинаций катушек сравните $\Theta$ из пункта C3 с расчётными значениями.

1 Количество измерений: не менее 4	0.60
2 не менее 3	0.30
3 Сделан вывод о плохом совпадении теории и эксперимента (иногда различие на порядок), в частности, из-за очень большой амплитуды переменного сигнала. Тем не менее, порядки близки	0.40

C6 ^1.20 Установите $V_0=3.0~\text{В}$, амплитуду генератора $\mathcal{E}_0=2.0~\text{В}.$ Зарисуйте характерные зависимости переменного напряжения на варикапе от времени для $\omega=\omega_0/n$ для $n=3,4,5$

1 $n=3$ – три выраженных пика амплитуды за период; $n=4$ – четыре выраженных пика амплитуды за период; $n=5$ – пять выраженных пиков амплитуды за период

3 × 0.40

Исследование варикапа [mod SPB]

Разбалловка