Собираем установку (рис. 1). Устанавливаем напряжение на генераторе $\mathcal{E}_0 = 0,9~B$. Подключаем осциллограф и источник постоянного напряжения, мультиметр для измерения $V_0$ (рис.3). Меняя частоту входного напряжения, находим резонансную частоту контура по максимуму напряжения на варикапе, для фиксированного значение $V_0$.
$V$,В $f$, кГц $C$, пФ 0 223,4 154 0,2 224,4 152 0,4 225,5 151 0,6 226,9 149 0,8 227,8 148 1 228,9 147 1,2 229,9 145 1,4 230,9 144 1,6 232,1 142 1,8 233,4 141 2 234,2 140 2,2 235,4 139 2,4 236,2 138 2,6 237 137 2,8 237,8 136 3 238,7 135
По формуле резонансной частоты колебательного контура $C=\cfrac{1}{(2\pi f)^2 L } $ пересчитываем зависимость $C(V_0)$.
Из касательной графика в нуле находим $\chi $
$$\chi = (4 - 9 )\cdot10^{-12} \cfrac{\text{Ф}}{\text{В}}$$
Из касательных графика в точках $V_0= 0,0 \text{ B}$ и $ V_0 =2,8 \text{ B}$: $$ \beta=\cfrac{C'(2,8)-C'(0,0)}{2 *2,8} $$
$$\beta \sim 10^{-12} \div 10^{-13} \cfrac{\text{Ф}}{\text{В}^2}$$
Устанавливаем напряжение на источнике постоянного напряжения $V_0=0,3 \text{ B}$. Снимаем с осциллографа зависимость $U_{\sim} (f)$.
$f$, кГц $U$, мВ 224,5 441 225 439 225,5 438 224 429 226 425 226,5 425 223,5 410 223 404 227 393 227,5 389 222,5 378 222 359 228 352 221 318 229 315 229 301 220 279 230 260 219 246 231 218 218 205 232 198 217 188 233 157
Из полученного графика находим ширину контура по напряжению $U_{\sim}=\cfrac{U_{\sim,max}}{\sqrt2}$ :
$$\delta f = 8 \text{ кГц}$$
$$ Q=\cfrac{f_0}{\delta f} = 28 $$
Из графика пункта А2 находим $C_k(0,3)= 151,7 \text{ пФ}$.
Измеряем мультиметром $r+r_L=33 \text{ Ом} $
$$Q=\cfrac{1}{r+r_L} \sqrt{\cfrac{L}{C_k(0,3)}}=140$$
$$\gamma = \cfrac{r+r_L}{2L}$$
$$\omega_0 = \sqrt{ \cfrac{1}{L C_k} }$$
В первом(линейном) приближении при слабом затухании $(\gamma \ll \omega_0)$ пренебрегаем членами $\alpha' U^2$ и $ 2\gamma\dot{U}$ . Получаем уравнение:
$$
\ddot{U}+\omega_0^2U=-\omega_0^2U_0sin(\cfrac{\omega_0}{2} t)
$$
Решаем полученное уравнение:
$$
U_1=-\cfrac{4}{3} U_0 sin\left( \cfrac{\omega_0 t}{2} \right)
$$
Подставляем в исходное уравнение $U=U_1+U_2$:
$$
\ddot{U_2}+2\gamma\dot{U_2}+\omega_0^2U_2+\omega_0^2U_0sin(\omega t) - \alpha' U_2^2=\alpha' U_1^2 +2 \alpha' U_1 U_2
$$
Подставляем найденное первое приближение $ U_1=-\cfrac{4}{3} U_0 sin\left( \cfrac{\omega_0 t}{2} \right)$:
$$
\ddot{U_2}+2\gamma\dot{U_2}+\omega_0^2U_2 - \alpha' U_2^2 = \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 - \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 cos(\omega_0 t) -\cfrac{8\alpha'}{3} U_0 U_2 sin\left( \cfrac{\omega_0 t}{2} \right)
$$
Пренебрегаем $2 \alpha' U_1 U_2$ по сравнению с $\alpha' U_1^2$ получаем:
$$
\ddot{U_2}+2\gamma\dot{U_2}+\omega_0^2U_2 - \alpha' U_2^2 = \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 - \cfrac{8\alpha'}{9} U_0^2 cos(\omega_0 t)
$$
Ищем решение в виде $ U_2 = A +B sin(\omega_0 t)$. Получаем конечное выражение для поправки $U_2= - \cfrac{8\alpha'}{9 \omega_0^2} U_0^2 - \cfrac{4\alpha'}{9 \gamma \omega_0} U_0^2 sin(\omega_0 t)$.