A Регистрация голограммы

A1 Когерентная монохроматическая плоская волна падает на установку, изображенную на рис. 1, где $Pr$ – призма с малым углом при вершине $a$ и показателем преломления $n$; $Ob$ – объект, исследуемый на пропускание. На плоскости $P(x)$ изучается интерференция между волной $\Sigma$ с комплексной амплитудой $A^{(x)} \cdot e^{j \Phi(x)}$, пропускаемой объектом, и волной $\Sigma_{0}$, известной как опорная волна, которая отклоняется призмой и имеет амплитуду $A_{0}(x) e^{j \Phi_{0}(x)}$. Будем считать, что объект не дает дифракции. Определите функцию интенсивности $I(x)$, найдя соотношения между отклонением $0$ на призме и фазой опорной волны.

B1 Результаты регистрируются на фотопластинке, установленной в плоскости $\pi$. Подбираются такие условия, чтобы работать в линейной части ее характеристики, то есть в области, где плотность $D$ определяется выражением $D=\gamma \ln E$. Найдите соотношение, связывающее $I(x)$ с амплитудной функцией пропускания $t(x)$ проявленной пластинки, которая называется голограммой. Покажите, что $t(x)$ принимает простую форму, если $|A(x)|^{2} \ll\left|A_{0}\right|^{2}$ (ищем разложение в ряд функции $t(x)$, где значащие члены легко интерпретируются для значений $\gamma$, например, вблизи 3 или 4).

C Восстановление формы объекта

С1 В полученном выражении для $t(x)$ объясните роль каждого из членов. Голограмма ведет себя подобно решетке, помещенной в параллельный монохроматический пучок. (Можно обнаружить эффект «увеличения», связанный с длиной волны.) Покажите, как восстанавливается волна $\Sigma$.

D Голографические линзы (рис. 2)

D1.1

Опорный луч остается неизменным. Объект заменяется непрозрачным экраном, имеющим небольшое отверстие $T$. Падающая плоская волна преобразуется в результате дифракции в сферическую волну $\Sigma$ с центром в $T$. Расстояние от $T$ до пластинки обозначим $f$.

1. Напишите выражения для функций $I(x)$ и $t(x)$.
2. Как и прежде, голограмма освещается когерентной плоской волной с длиной $\lambda$.

Покажите, что голограмма воздействует на эту волну как:

• фокусирующая линза с фокусным расстоянием $f$ при наблюдении в направлении – $\theta$, 
• рассеивающая линза при наблюдении в направлении $+\theta$.

D1.2 Экран имеет два одинаковых отверстия $T_{1}$ и $T_{2}$, симметричных относительно оси $OT$ и разделенных промежутком $2d$. Волны $\Sigma_{0}$ и $\Sigma$ имеют длину $\lambda$.

1. Напишите выражения для функций $I(x)$ и $t(x)$.
2. Эта новая голограмма освещается теперь точечным источником $S$, расположенным на расстоянии $p$ от центральной линии голограммы и испускающим длину волны $\lambda'$. 

Найдите расстояние $2D$, которое отделяет изображения $T_{1}'$ и $T_{2}'$ от $T_{1}$ и $T_{2}$. Найдите увеличение голографических линз как функцию $p$, $f$, $\lambda$ и $\lambda'$.

E1 Фотоснимок интерферограммы, полученной при интерференции двух волн с сильно различающимися амплитудами $A_{1} \gg A_{2}$ (если зеркала при $\delta_{0}=0$ наклонены под углом $\theta$ друг к другу), есть не что иное, как голограмма. Покажите, что $I(x)=I(\delta)$ и что при освещении такой фотопластинки когерентным светом получается непосредственно спектральное распределение источника. Докажите это при помощи простой установки.