A  ^?? Регистрация голограммы

После прохождения через объект $Ob$ электромагнитная волна имеет амплитуду вида $\mathcal {A}=A(x) e^{j \Phi(x)}$. Для описания структуры волны требуется как вещественная, так и комплексная амплитуды. Большинство приемников (фотопластинки) чувствительны к изменениям освещенности, но не дают информации о фазе. Метод, предложенный здесь, позволяет полностью восстановить волну $\Sigma$.

A1  ^?? Когерентная монохроматическая плоская волна падает на установку, изображенную на рис. 1, где $Pr$ – призма с малым углом при вершине $a$ и показателем преломления $n$; $Ob$ – объект, исследуемый на пропускание. На плоскости $P(x)$ изучается интерференция между волной $\Sigma$ с комплексной амплитудой $A^{(x)} \cdot e^{j \Phi(x)}$, пропускаемой объектом, и волной $\Sigma_{0}$, известной как опорная волна, которая отклоняется призмой и имеет амплитуду $A_{0}(x) e^{j \Phi_{0}(x)}$. Будем считать, что объект не дает дифракции. Определите функцию интенсивности $I(x)$, найдя соотношения между отклонением $0$ на призме и фазой опорной волны.

Регистрация голограммы

Опорная волна отклоняется на угол
$$\theta=(n-1) a.$$
Эта волна $\Sigma_{0}$ имеет постоянную амплитуду $A_{0}$. Ее фаза $\Phi_{0}(x)$ изменяется линейно как функция $x$ в плоскости $\pi$. Имеем
$$\Phi_{0}(x)=\frac{2 \pi}{\lambda} \theta x \tag{1}$$
Здесь во всех задачах начало отсчета фазы выбирается на оси $Ox$ и предполагается, что лучи, интерферирующие в точке $O$, находятся в фазе. Волны, которые не пересекли ось $Ox$, имеют положительную разность фаз, а волны, которые пересекли ось $Ox$, имеют отрицательную разность фаз.

Результирующая амплитуда в точке $P(x)$ определяется выражением
$$A_{0} e^{-j \Phi_0 (x)}+A(x) e^{j \Phi(x)}. \tag{2}$$
Результирующая интенсивность будет
\begin{align*}
& I(x)=\left[A_{0} e^{-j \Phi_{0}(x)}+A(x) e^{j \Phi(x)}\right]\left[A_{0} e^{+j \Phi_{0}(x)}+A(x) e^{-j \Phi(x)}\right]  \tag{3}\\
& I(x)=A_{0}^{2}+A^{2}(x)+2 A_{0} A(x) \cos \left[\Phi_{0}(x)+\Phi(x)\right].
\end{align*}

Примечание

Фаза $\Phi(x)$ содержится в выражении для функции $I(x)$. Изменение функции $\Phi(x)$ влечет за собой изменение периода или положения полос. Изменение функции $A(x)$ изменяет контрастность полос.

B1  ^?? Результаты регистрируются на фотопластинке, установленной в плоскости $\pi$. Подбираются такие условия, чтобы работать в линейной части ее характеристики, то есть в области, где плотность $D$ определяется выражением $D=\gamma \ln E$. Найдите соотношение, связывающее $I(x)$ с амплитудной функцией пропускания $t(x)$ проявленной пластинки, которая называется голограммой. Покажите, что $t(x)$ принимает простую форму, если $|A(x)|^{2} \ll\left|A_{0}\right|^{2}$ (ищем разложение в ряд функции $t(x)$, где значащие члены легко интерпретируются для значений $\gamma$, например, вблизи 3 или 4).

Амплитуда света, пропускаемого фотопластинкой

Пластинка подвергается воздействию освещенности $E(x)$ $$E(x)=I(x)\quad -~ интенсивность~~ колебаний\tag{4}$$ Эта пластинка проявляется, затем освещается параллельным пучком, перпендикулярным ее поверхности и имеющим амплитуду, равную единице. Вспомним, что плотность почернения пластинки определяется как $$D=\gamma \ln E \tag{5}$$ С другой стороны, имеем $$D=\ln \frac{I_{падающего~света}}{I_{пропущенного~света}}=\ln \frac{1}{T}=\ln \frac{1}{t^{2}}, \tag{6}$$ где $T$ – коэффициент пропускания, а $t$ – амплитуда света, пропускаемого голограммой. Приравнивая $(5)$ и $(6)$, находим $$t(x)=I(x)^{-\gamma /2} \tag{7}$$ Если интенсивность опорного пучка много больше интенсивности пучка, проходящего через объект, то имеем условие $$A_{0} \gg A(x) \tag{8}$$ которое позволяет преобразовать выражение для функции $t(x)$: $$\begin{aligned} & t(x)=I(x)^{-\gamma / 2}=\left\{A_{0}^{2}+A^{2}(x)+2 A_{0} A(x) \cos \left[\Phi_{0}(x)+\Phi(x)\right]\right\}^{-\gamma / 2}= \\ &=A^{2-(\gamma /2)}-\frac{\gamma}{2} A_{0}^{-\gamma-2} A^{2}(x)-\gamma A_{0}^{-\gamma-1} A(x) \cos \left[\Phi_{0}(x)+\Phi(x)\right]= \\ &=A^{1-(\gamma / 2)}\left\{A_{0}^{2}-\frac{\gamma}{2} A^{2}(x)-\gamma A_{0} A(x) \cos \left[\Phi_{0}+\Phi\right]\right\}.\end{aligned}$$ Разделив выражение для $t(x)$ на постоянный множитель $-2 A_{0}^{-\gamma-2}$, находим $$t(x) \approx-2 A_{0}^{2}+\gamma A^{2}(x)+\gamma A_{0} A(x) e^{j\left(\Phi_{0}+\Phi\right)}+\gamma A_{0} A(x) e^{-j\left(\Phi_{0}+\Phi\right)} \tag{9}$$ Тогда это уравнение можно записать $$t(x)=-2 A_{0}^{2}+\gamma A^{2}(x)+\gamma A_{0} e^{j\Phi_{0}} \cdot A(x) e^{j \Phi(x)}+\gamma A_{0} e^{-j \Phi_{0}} \cdot A(x) e^{-j \Phi(x)}\tag{10}$$

Примечание

Коэффициент $\gamma$ для фотопластинки содержится в последних трех членах $(10)$. Амплитуда волны $\Sigma$, а именно $A(x) e^{j \Phi(x)}$, содержится непосредственно в трех членах. Регистрация голограммы может быть в принципе произведена с любым когерентным источником, однако отношение $A_{0} / A(x)$ очень велико, поэтому необходимо использовать лазер, чтобы величина $A(x)$ не была слишком мала.

C  ^?? Восстановление формы объекта

С1  ^?? В полученном выражении для $t(x)$ объясните роль каждого из членов. Голограмма ведет себя подобно решетке, помещенной в параллельный монохроматический пучок. (Можно обнаружить эффект «увеличения», связанный с длиной волны.) Покажите, как восстанавливается волна $\Sigma$.

Восстановление формы объекта

Восстановление осуществляется легко и может быть проведено без оптической системы.

Голограмма на пластинке освещается плоской когерентной волной $\sigma_{0}$, фронт которой параллелен пластинке (рис. 3). Распределение амплитуды в плоскости пластинки определяется функцией $t(x)$, и нам нужно знать преобразование Фурье для амплитуды.

Четыре члена функции $t(x)$ соответствуют следующим пространственным частотам: \begin{align*} & -2 A_{0}^{2}+\gamma A^{2}(x) \rightarrow \quad частота  0, \\ & \gamma A_{0} A(x) e^{j \Phi(x)} \rightarrow \quad частота  +u_{0}=+\frac{\theta}{\lambda},\tag{11}\\ & \gamma A_{0} A(x) e^{-j \Phi(x)} \rightarrow \quad частота  -u_{0}=-\frac{\theta}{\lambda}.\end{align*} Результаты представлены на рис. 3.

Имеем:

• прямую волну $\sigma_{0}$ с амплитудой $-2 A_{0}^{2}+\gamma A^{2}(x)$, распространяющуюся под углом $\theta=0$; 
• волну $\sigma_{+1}$, образующую угол $+\theta$ с осью $Ox$ и воспроизводящую волну $\Sigma$ с точностью до коэффициента $\gamma A_{0}$; 
• волну $\sigma_{-1}$, имеющую такую же амплитуду, как и волна $\sigma_{+1}$, но противоположную фазу (распространяется под углом $-\theta$).

Чтобы понять, как голограмма воздействует на плоскую волну $\sigma$, вспомним, что призма, «перевернутая вершиной вниз» с углом $a$, поворачивает пучок на угол $\theta$ и вносит сдвиг фаз $+(2 \pi / \lambda) \theta x$ (рис. 4). 

Тогда третий член в $(10)$ можно интерпретировать как амплитуду света, идущего от объекта и пропускаемого упомянутой выше призмой. Прямой пучок света, распространяющийся под углом $\theta=0$, является очень ярким, в то время как пучок света, дифрагировавший под углом $+\theta$, сильно ослаблен и восстанавливает форму объекта.

Увеличение

Если голограмма освещается светом с длиной волны $\lambda'$, отличающейся от длины волны $\lambda$, используемой для получения голограммы, то волны $\sigma_{+1}$ и $\sigma_{-1}$ распространяются под такими углами $+\theta'$ и $-\theta'$, что $$\frac{\theta}{\lambda}=\frac{\theta'}{\lambda'} \quad из~ теории~ решеток \tag{12}$$ Видно (рис. 5), что размеры объекта изменяются непосредственно с длиной волны.

D  ^?? Голографические линзы (рис. 2)

D1.1  ^??

Опорный луч остается неизменным. Объект заменяется непрозрачным экраном, имеющим небольшое отверстие $T$. Падающая плоская волна преобразуется в результате дифракции в сферическую волну $\Sigma$ с центром в $T$. Расстояние от $T$ до пластинки обозначим $f$.

1. Напишите выражения для функций $I(x)$ и $t(x)$.
2. Как и прежде, голограмма освещается когерентной плоской волной с длиной $\lambda$.

Покажите, что голограмма воздействует на эту волну как:

• фокусирующая линза с фокусным расстоянием $f$ при наблюдении в направлении – $\theta$, 
• рассеивающая линза при наблюдении в направлении $+\theta$.

Осуществляется интерференция плоской волны $\Sigma_{0}$ со сферической волной $\Sigma$ (рис. 6).

1. Результирующая амплитуда в точке $P$ равна $$A_{0} e^{-j \Phi_{0}(x)}+A e^{j \Phi(x)} \tag{13}$$ Считаем, что $A(x)=A=\operatorname {const}$; эта функция не изменяется при прохождении волны от центра $O$ до конца поля. $\Phi(x)$ разность фаз между волной $\Sigma$ с центром в точке $T$ и плоскостью $Ox$ (см., например, задачу о кольцах Ньютона): $$\Phi(x)=\frac{2 \pi}{\lambda} \frac{x^{2}}{2 r}=\frac{\pi}{\lambda f} x^{2}. \tag{14}$$ Подставляя это значение $\Phi(x)$ в уравнение общего вида $(3)$, находим $$I(x)=A_{0}^{2}+A^{2}+2 A_{0} A \cos \frac{2 \pi}{\lambda}\left[\theta x+\frac{x^{2}}{2 f}\right] \tag{15}.$$ Амплитуда света, пропущенного голограммой при освещении когерентной плоской волной, равна $$t(x)=-2 A_{0}^{2}+\gamma A^{2}+\gamma A_{0} \exp \left(j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right) A \exp \left(j \frac{\pi}{\lambda f} x^{2}\right)+\gamma A_{0} \exp \left(-j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right) A \exp \left(-j \frac{\pi}{\lambda f} x^{2}\right).\tag{16}$$

2. Обратите внимание на выражение для функции $t(x)$:

• первый и второй члены: голограмма пропускает невозмущенную плоскую волну $\sigma_{0}$ с амплитудой $-2 A_{0}^{2}+\gamma A$ под углом $\theta=0;$
• третий член: голограмма ведет себя как перевернутая призма (отклоняющая волну под углом $+\theta$) подобно рассеивающей линзе с фокусным расстоянием $-f$ [преобразующей плоскую волну в расходящуюся волну (рис. 7 а)]; $\sigma_{+1}$ – расходящаяся волна, восстанавливающая форму объекта;
• четвертый член: в этом случае имеется эквивалент призмы «с вершиной вверх» или фокусирующей линзы с фокусным расстоянием $f$ (рис.7 б); $\sigma_{-1}$ – сходящаяся волна. Окончательные изображения показаны на рис. 8.

D1.2  ^?? Экран имеет два одинаковых отверстия $T_{1}$ и $T_{2}$, симметричных относительно оси $OT$ и разделенных промежутком $2d$. Волны $\Sigma_{0}$ и $\Sigma$ имеют длину $\lambda$.

1. Напишите выражения для функций $I(x)$ и $t(x)$.
2. Эта новая голограмма освещается теперь точечным источником $S$, расположенным на расстоянии $p$ от центральной линии голограммы и испускающим длину волны $\lambda'$. 

Найдите расстояние $2D$, которое отделяет изображения $T_{1}'$ и $T_{2}'$ от $T_{1}$ и $T_{2}$. Найдите увеличение голографических линз как функцию $p$, $f$, $\lambda$ и $\lambda'$.

1. Результирующая амплитуда на пластинке равна $$A_{0} \exp \left(-j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right)+A \exp \left[j \frac{\pi}{\lambda f}(x-d)^{2}\right]+A \exp \left[j \frac{\pi}{\lambda f}(x+d)^{2}\right].\tag{17}$$ Выводим выражение для амплитуды света, пропущенного голограммой:
\begin{align*}
& t(x) \approx 2 A_{0}^{2}-2 \gamma A^{2}\left[1-\cos \frac{4 \pi}{\lambda f} d x\right]+ \\
& +\gamma A_{0} A\left\{\exp \left[j \frac{\pi}{\lambda f}(x-d)^{2}\right]+\exp \left[j \frac{\pi}{\lambda f}(x+d)^{2}\right]\right\} \exp \left(j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right)+ \\
& +\gamma A_{0} A\left\{\exp \left[-j \frac{\pi}{\lambda {f}}(x-d)^{2}\right]+\right. \\
& \left.\quad+\exp \left[-j \frac{\pi}{\lambda f}(x+d)^{2}\right]\right\} \exp \left(-j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right). \tag{18}
\end{align*}

2. Имеем:

• волну, распространяющуюся под углом $\theta=0$,
• две расходящиеся волны под углом $+\theta$,
• две сходящиеся волны под углом - $\theta$, которые образуют действительные изображения $T_{1}'$ и $T_{2}'$ объектов $T_{1}$ и $T_{2}.$

Для простоты рассмотрим только эти два изображения. Два последних члена в $(18)$ показывают, что $T_{1}'$ и $T_{2}'$ получаются сравнением голограммы

• с призмой «вершиной вверх»,
• с двумя фокусирующими линзами с фокусным расстоянием $f$ для длины волны $\lambda$; их центры разделены расстоянием $2d$ (это расстояние преувеличено на рис. 9).

Две линзы, пропускающие длину волны $\lambda'$, имеют такое фокусное расстояние $f'$, что $$f \lambda=f' \lambda'. \tag{19}$$ Уравнение для линз позволяет определить положения точек $T_{10}'$ и $T_{20}'$. Находим $$\frac{1}{f'}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{p+q}{p q}. \tag{20}$$ Используя треугольники $S L_{1} L_{2}$ и $S T_{10}'T_{20}'$, можно написать $$g=\frac{2 D}{2 d}=\frac{p+q}{p}=\frac{q}{f'}=\frac{q}{f} \frac{\lambda'}{\lambda}. \tag{21}$$ Если пластинка подвергается воздействию рентгеновских лучей, а голограмма освещается светом лазера с длиной волны $6328~\overset{\circ}{\mathrm{A}}$, то получается очень значительное увеличение. Однако необходимо помнить, что фотопластинка имеет конечное разрешение.

E1  ^?? Фотоснимок интерферограммы, полученной при интерференции двух волн с сильно различающимися амплитудами $A_{1} \gg A_{2}$ (если зеркала при $\delta_{0}=0$ наклонены под углом $\theta$ друг к другу), есть не что иное, как голограмма. Покажите, что $I(x)=I(\delta)$ и что при освещении такой фотопластинки когерентным светом получается непосредственно спектральное распределение источника. Докажите это при помощи простой установки.

Имеем $$I(x)=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x. \tag{22}$$ Если $A_{1} \gg A_{2}$, то проявленная пластинка пропускает амплитуду $$t(x)=-2 A_{1}^{2}+\gamma A_{2}^{2}+\gamma A_{1} A_{2} \exp \left(j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right)+\gamma A_{1} A_{2} \exp \left(-j \frac{2 \pi}{\lambda} \theta x\right). \tag{23}$$ Эта синусоидальная решетка позволяет пройти только пространственным частотам $0$, $+u_{0}$ и $-u_{0}$. Кроме центрального изображения, имеются спектры порядков $+1$ и $-1$ , где дисперсия пропорциональна длине волны (рис. 10). Эта спектрограмма не содержит спектров выше первого порядка. К сожалению, зернистость фотопластинки снижает разрешение.