A1  ^??

Амплитуда света, дифрагированного зрачком шириной $a$, равна $$F_{0}(u)=a \frac{\sin \pi u a}{\pi u a}, \tag{1}$$ если принять $$u=\frac{\sin i+\sin i'}{\lambda} \tag{2}$$

B1.1  ^?? Рассмотрим ряд из $N$ зрачков шириной $a$ и $N$ зрачков шириной $b$, освещенных так же, как и в A1, но смещенных на $e$, как указано на рис. 2. Их второй размер всегда $h \gg b$ и $h \gg a$.

Каково запаздывание колебаний, дифрагировавших от центра $C'$ на $b$, относительно колебаний, дифрагировавших от центра $C$ на $a$ ?

Амплитуда света, дифрагированного ступенькой

Между падающими лучами, которые отражаются в точках $C$ и $C^{\prime}$ (рис. 5), находим разность хода
$$\delta_{i}=C'H=C'L+L H=C' K \sin i+e \cos i$$

Так как угол $i$ мал, $$\delta_{i}=\frac{p^{2}}{2} \sin i+e$$ причем $$p=a+b$$ Между лучами, отраженными в точках $C$ и $C'$, имеется разность хода $$\delta=\frac{p}{2}\left[\sin i+\sin i'\right]+2 e$$ отсюда $$\varphi=\pi p u+\frac{4 \pi}{\lambda} e. \tag{3}$$

B1.2  ^?? Выведите выражение для интенсивности дифрагированного света в случае ряда зрачков $a$ и $b$. Считайте, что углы $i$ и $i'$ достаточно малы для того, чтобы падающий и дифрагированный пучки разделились заметным образом.

Амплитуда дифрагированного света для ступеньки шириной $p$ равна $$F_{1}(u)=a \frac{\sin \pi u a}{\pi u a}+b \frac{\sin \pi u b}{\pi u b} e^{j \varphi}, \tag{4}$$ отсюда интенсивность равна

B1.3  ^?? Этот ряд из $N$ зрачков ($N$ велико) образует отражательную решетку. Покажите, что соответствующий выбор величины $e$ позволяет устранить спектры некоторых порядков. Примите $a=b$, $i=0$.

Амплитуда дифрагированного света для решетки с $N$ идентичными ступеньками есть $$F(u)=F_{1}(u)\left[1+e^{j \Phi}+\ldots+e^{I(N-1) \Phi}\right]$$ откуда $$I(u)=\left[F_{1}(u)\right]^{2} \frac{\sin ^{2} N \Phi / 2}{\sin ^{2} \Phi / 2}, \tag{5}$$ где $$\Phi=2 \pi u p. \tag{6}$$ Если $a=b=p / 2$ то уравнение $(4)$ упрощается к $$F_{1}(u)=a \frac{\sin \pi u a}{\pi u a}\left[1+e^{j \varphi}\right]=2 a e^{j \varphi / 2} \frac{\sin \pi u a}{\pi u a} \cos \frac{\varphi}{2},\tag{6'}$$ откуда $$ I(u)=p^{2}\left(\frac{\sin \pi u a}{\pi u a}\right)^{2} \cos ^{2} \frac{\varphi}{2} \frac{\sin ^{2} N \Phi / 2}{\sin ^{2} \Phi / 2}$$ $$ I(u)=4 a^{2}\left(\frac{\sin \pi u a}{\pi u a}\right)^{2} \cos ^{2}\left[\pi u a+\frac{2 \pi e}{\lambda}\right]\left(\frac{\sin N 2 \pi u a}{\sin 2 \pi u a}\right)^{2}. \tag{7}$$ Окончательно можно написать $$I(u)=\underbrace{4 a^{2}\left(\frac{\sin \pi u a}{\pi u a}\right)^{2}\left(\frac{\sin N 2 \pi u a}{\sin 2 \pi u a}\right)^{2}}_{\mathrm{I}} \underbrace{\cos ^{2}\left[\pi u a+\frac{2 \pi e}{\lambda}\right]}_{\mathrm{II}}.$$

Произведение $\mathrm{I}$ представляет собой интенсивность дифрагированного света для решетки Фуко с периодом $p=2a$, имеющую $N$ штрихов (см. задачу Дифракция на большом расстоянии). Спектры четного порядка (кроме $k=0$) исчезают. Остаются только спектры порядков $k=0, \pm 1, \pm 3, \pm 5, \ldots$ Изменение $I$ в зависимости от $u$ показано на рис. 6 сплошной линией.

Функция $I$ модулируется членом $\mathrm {II}$, функция $\cos ^{2}(\pi u a+2 \pi е / \lambda$) имеет период $1/a$, и положения максимумов и минимумов зависят от значения $e$. Изменения члена $\mathrm {II}$ показаны на рис. 6 пунктирными кривыми. В зависимости от положения этой функции некоторые определенные спектры могут исчезнуть.

• Если $e=K \lambda / 2$ ($K$ – целое число), то член $\mathrm {II}$ равен $\cos ^{2}(\pi u a)$. Максимум пунктирной кривой совпадает с нулем. Отражается только спектр нулевого порядка. Спектры нечетного порядка исчезают.
• Если $e=K \pi /4$ ($К$ – нечетное число), то член $\mathrm {II}$ равен $\sin ^{2} (\pi ua)$. Минимум функции находится в начале отсчета. Максимальную интенсивность имеют только оставшиеся спектры нечетного порядка.

C  ^?? Ступенчатая решетка (эшелет)

C1.1  ^?? Установка см. рис. 3 используется как ступенчатая решетка. Штрихи на решетке имеют вид, изображенный на рис. 4. На металлическую поверхность $AB$ наносятся штрихи с пилообразным профилем. Поверхность $MN$ каждой ступеньки образует угол $\theta$ с направлением $A B$ и имеет ширину $M N=a$. Объясните ход лучей на рис. 4.

C1.2  ^??

Падающие лучи нормальны к поверхности $A B$. 

1. Напишите выражение для зависимости интенсивности света, дифрагировавшего под углом $i'$, от $\sin i'$ для ступеньки шириной $a$.
2. Определите интенсивность дифракции в этом направлении для $N$ ступенек.

1. Амплитуда света, дифрагировавшего от одной ступеньки, равна $$F_{1}(u)=a \frac{\sin \pi u a}{\pi u a}, \tag{8}$$ где $$u=\frac{1}{\lambda}\left(\sin \theta+\sin i'\right)$$ $I=\left|F_{1}(u)\right|^{2}$ (см. пунктирную кривую на рис. 7).

2. Амплитуда света, дифрагировавшего на решетке. В этом случае потребуется только выражение $(5)$, если принять $$\Phi=2 \pi \frac{\delta}{\lambda}=\frac{2 \pi}{\lambda} \bar{C} \bar{H}=\frac{2 \pi}{\lambda} \bar{C} \bar{D} \sin \widehat{C D H}$$ см. рис. 8, $$\Phi=\frac{2 \pi}{\lambda} \frac{a}{\cos \theta} \sin \left(\theta-i^{\prime}\right) . \tag{9}$$

C1.3  ^?? Каким должно быть минимальное значение угла $\theta$, чтобы энергия света, дифрагировавшего от решетки, концентрировалась в особом спектре вблизи $\lambda=1~мкм?$ Каков будет порядок этого спектра? $MN=a=4~мкм$.

Используя уравнение $(8)$, можно видеть, что модуляции, обусловленной дифракцией от одной ступеньки, не возникает, если $u=0$ или $i'=-\theta$. Это соответствует обычному закону отражения. Для значения $i'$, соответствующего главному максимуму, $$\Phi=2 k \pi$$ или, наконец, используя $(9),$ $$\frac{a}{\cos \theta} \sin \left(\theta-i'\right)=k \lambda=\frac{a}{\cos \theta} \sin 2 \theta=2 a \sin \theta$$ Наименьшее значение, разрешенное для угла $\theta$, соответствует $k=1$, а именно $$\sin \theta=\frac{\lambda}{2 a}=\frac{1}{8} \rightarrow \theta=7^{\circ} 24'\tag{10}$$ Если ступенька прочерчена под углом $\theta$, то наиболее интенсивный спектр соответствует порядку $k=+1$ и дифрагированные лучи направлены под таким углом $i'$, что $$\sin i'=-\frac{\lambda}{2a}.$$ Положение других спектров определяется выражением $(9)$, где для угла $ \theta$ подставляется его значение $(10)$, однако можно видеть, что это положение совпадает с нулевыми минимумами $(8)$. Вся энергия сосредоточивается в спектре порядка $+1$ (рис. 8).