A1  ^1.50 Найдите значения индукции поля $B_0~\text{(в Тл)}$, при котором лягушка будет левитировать. Считайте, что лягушка состоит целиком из воды. Плотность воды $\rho=1000~\text{кг}/\text{м}^3$. Ускорение свободного падения $g=9.8~\text{м}/\text{с}^2$.

1 $$\Delta{E}=-V\cfrac{\Delta{B^2}\chi}{2\mu_0}=V\cfrac{B^2_0\chi\Delta{h}}{2h_0\mu_0} $$	0.60
2 Формула без двойки.	0.30
3 Формула без $\chi$.	0.00
4 Связь с приращением энергии в поле силы тяжести (или через силы): $$V\cfrac{B^2_0\chi\Delta{h}}{2h_0\mu_0}+V\rho g\Delta{h}<0 $$	0.70
5 Получено выражение: $$B_0>\sqrt{-\cfrac{2h_0\mu_0\rho g}{\chi}} $$	0.10
6 Численное значение: $$B_\text{min}=5{,}3~\text{Тл} $$	0.10

B1  ^1.00 Пусть индукция магнитного поля на полюсе звезды была $B_s=100~\text{мкТл}$ и ее средняя плотность $\rho_s=1400~\text{кг}/\text{м}^3$. Какой станет индукция магнитного поля $B_n$ на полюсе, когда звезда превратится в нейтронную звезду? Плотность вещества нейтронной звезды $\rho_n=5\cdot{10^{17}}~\text{кг}/\text{м}^3$.

1 $$BS=const $$	0.50
2 $$V\sim{\rho^{-1}} $$	0.10
3 $$r\sim{V^{1/3}} $$	0.10
4 $$S\sim{r^2} $$	0.10
5 Получено выражение: $$B_n=B_s\left(\cfrac{\rho_n}{\rho_s}\right)^{2/3} $$	0.10
7 Численное значение: $$B_n=5\cdot{10^5}~\text{Тл} $$	0.10

B2  ^1.00 В действительности магнитные поля нейтронной звезды выглядят по-другому. Рассмотрим очень упрощенную модель. Внутренняя часть звезды сжимается до размеров нейтронной звезды, а внешняя – остается того же размера. Пусть до сжатия звезда вращалась с угловой скоростью $\omega_s$. Выразите новую угловую скорость вращения внутренней части звезды $\omega_n$ через $\omega_s$, $\rho_s$ и $\rho_n$.

1 $$\omega R^2=const $$	0.50
2 $$R\sim{\rho^{-1/3}} $$	0.20
3 Получено выражение: $$\omega_n=\omega_s\left(\cfrac{\rho_n}{\rho_s}\right)^{2/3} $$	0.30

B3  ^1.50 Пусть начальная индукция поля у внешнего цилиндра была $B_0$. Найдите индукцию поля $B$ в зависимости от времени $t$ ($t\gg{1/\omega_n}$) в области, где линии поля «растягиваются». Ответ выразите через $B_0$, $\omega_n$ и $t$.

1 Магнитный поток через внешнюю оболочку не изменяется.	0.30
2 Выведен ответ (в том числе с множителем $1/2$): $$B=B_0\omega_nt $$	1.20

B4  ^1.00 Примем следующую модель. При сжатии звезды гравитационная энергия переходит в кинетическую энергию вращения (пренебрежем тепловой энергией), которая затем переходит в магнитную. В этих предположениях оцените максимальную индукцию магнитного поля $B_\text{max}$ нейтронной звезды массы $M_n=4\cdot{10^{30}~\text{кг}}$ и радиуса $r_n=13~\text{км}$. Гравитационная постоянная $G=6.67\cdot{10^{-11}}~\text{м}^3/(\text{кг}\cdot{с}^2)$

1 Выражение для потенциальной энергии нейтронной звезды: $$\Pi=-\cfrac{3}{5}\cfrac{GM^2_n}{R_n} $$	0.50
2 Выражение для связи $\Pi$ с энергией магнитного поля: $$\cfrac{4}{3}\pi R^3B^2_\text{max}\cfrac{1}{2\mu_0}=\cfrac{3}{5}\cfrac{GM^2_n}{R_n} $$	0.30
3 Получено выражение: $$B_\text{max}=\cfrac{3M}{R^2}\sqrt{\cfrac{\mu_0G\rho_s}{10\pi\rho_n}} $$	0.10
4 Численное значение: $$B_\text{max}=6\cdot{10^6}~\text{Тл} $$	0.10

C1  ^1.00 Очень сильные магнитные поля могут влиять на химические свойства вещества, изменяя формы электронных орбит. Это происходит, когда сила Лоренца, действующая на электрон, становится больше кулоновского взаимодействия с ядром. Оцените индукцию магнитного поля $B_H$, необходимую для искривления орбиты в атоме водорода. Радиус орбиты электрона $R_H=5\cdot{10^{-11}~\text{м}}$. Заряд электрона $e=1{,}6\cdot{10^{-19}~\text{Кл}}$, масса электрона $m_e=9{,}1\cdot{10^{-31}}~\text{кг}$, электрическая постоянная $\varepsilon_0=8{,}85\cdot{10^{-12}~\text{Ф}/\text{м}}$.

1 $$F_1=\cfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cfrac{e^2}{R^2_H} $$	0.20
2 $$F_1=\cfrac{m_ev^2}{R_H} $$	0.20
3 $$F_2=evB $$	0.20
4 $$F_1\approx{F_2} $$	0.20
5 $$B=\sqrt{\cfrac{m_e}{4\pi\varepsilon_0R^3_H}} $$	0.10
6 Численное значение: $$B_H=2{,}5\cdot{10^5}~\text{Тл} $$	0.10