Поведение механических систем с одной степенью свободы полностью определяется зависимостью потенциальной энергии системы от координаты, график когторой называется потенциальной кривой. Часто теоретический расчет этой зависимости может являться сложной, иногда неразрешимой задачей. В таких случаях потенциальная кривая может быть получена на основании экспериментальных данных.

В данной работе вам необходимо найти зависимость потенциальной энергии от координаты при свободном вращении металлического стержня, подвешенного на двух вертикальных нитях. В ходе всех экспериментов длины нитей $l$ и расстояние между ними $h$ не изменяйте.

Часть 1. Теоретическое введение

Масса стержня равна $m_{1}=50.0~ г$, а масса одной гайки – $m_{2}=6.4~ г$.

1.1 Выразите единицу энергии Ku в Джоулях. Рассчитайте ее численное значение.

В ходе измерений вам необходимо измерять времена $t(k)$, за которые стержень совершает $k$ оборотов. Пусть эта зависимость приближенно описывается формулой: $$ t(k)=A k^{\alpha}, $$ где $A$, $\alpha$ – некоторые постоянные.

1.2 Получите формулу для расчета скорости $V(k)$ и кинетической энергии $E(k)$ в единицах Ku в зависимости от координаты $k$, которую формально можете считать непрерывной. Выразите $E(k)$ через параметры $A$, $\alpha$, $k$.

Пусть потенциальная энергия $U$ принимается равной нулю в положении стержня (2) и ее зависимость от координаты $N$ приближенно описывается формулой: $$ U(N)=B N^{\beta} . $$ Обозначим $T$ как время раскручивания стержня из начального положения (3) до нижнего положения (4), тогда в этих условиях приближенная зависимость $T(N)$ описывается формулой $T(N)=G N^{\gamma}$.

1.3 Выразите показатель степени $\gamma$ через показатель степени $\beta$.

Часть 2. Изучение закона движения

Установите стержень в начальное положение (3) с $N=30$. Освободите стержень и используйте секундомер с памятью этапов для фиксации времени $t(k)$, за которые стержень делает $k$ оборотов из начального положения. Измерения проведите в диапазоне $k=0 \div 30$ через каждые три оборота.

2.1 Результаты измерений $t(k)$ занесите в Таблицу 1.

2.2 Постройте график закона движения $k(t)$.

Для расчета скорости стержня по экспериментальным данным используйте симметричную формулу$$
V(k)=\frac{6}{t(k+3)-t(k-3)}.
$$

2.3 Рассчитайте по экспериментальным данным значения кинетических энергий $E(k)$ для всех измеренных значений координаты $k$. Результаты измерений занесите в Таблицу 1 в столбец «$E(k)~ (эксп{.})$».

2.4 Постройте график полученной зависимости $E(k)$. Обозначьте его №1.

2.5 Запишите формулу для потенциальной энергии стержня $U(k)$, выразив ее через $E(k)$.

2.6 Постройте в логарифмическом масштабе зависимость $t(k)$ от числа оборотов $k$.

2.7 Рассчитайте значения параметров зависимости $A$, $\alpha$ и оцените их погрешности.

2.8 Используя найденные значения параметров $A$, $\alpha$, рассчитайте значения кинетической энергии $E(k)$ в соответствии с п. 1.2. Результаты измерений занесите в Таблицу1 в столбец «$E(k)(теор{.})$».

2.9 Постройте график рассчитанной зависимости кинетической энергии стержня $E(k)$ на том же графике п. 2.4. Обозначьте его №2.

Часть 3. Поэтапное зондирование

В данной части оценка погрешностей не требуется. Для определения параметров зависимостей используйте графический метод.

Чем меньше интервал, тем приближенные (аппроксимирующие) формулы точнее описывают движение. В данной части работы Вам необходимо исследовать движения стержня на небольших интервалах изменения координаты $N$, границы которых указаны в Writing Sheets. Большее значение соответствует начальному положению. На каждом интервале Вам необходимо измерить закон движения - времена, за которые стержень сделает $k=10$ оборотов из начального положения, при этом в каждом заданном интервале координаты $N$ координата $k$ изменяется от 1 до 10. Измерения проводите с шагом $\Delta k=1$. Используйте секундомер с памятью этапов, засекайте времена после каждого оборота стержня.

На каждом интервале считайте, что полученную зависимость $t(k)$ можно приближенно описать функцией $t(k)=A k^{\alpha}$ со своими значениями параметров $A$ и $\alpha$, которые вам необходимо определить. На каждом из указанных интервалов выполните следующие задания.

3.1 Измерьте значения времен $t(k)$, за которые стрежень делает $k$ оборотов из начального положения.

3.2 Постройте в логарифмическом масштабе зависимость $t(k)$ на подготовленных частях Writing Sheets.

3.3 По 6 последним точкам (для значений $k$ от 5 до 10) проведите сглаживающую прямую линию.

3.4 По построенному линейному графику определите значения параметров $A$ и $\alpha$, указав формулы для их расчета.

3.5 Рассчитайте значения изменения кинетической энергии стержня $E_{5-10}=E(10)-E(5)$ при изменении координаты $k$ от 5 до 10. Приведите формулу для расчета этой величины.

Обобщите полученные результаты. Для этого будем считать, что стержень раскручивается из начального положения $N=30$.

3.6 Используя полученные в этой части данные, рассчитайте значения кинетической энергии $E(k)$ стержня после $k=5,10,15,20,25,30$ оборотов. Постройте на графике п. 2.4 график полученной в этой части зависимости. Обозначьте его №3.

Часть 4. Время раскручивания

В данной части Вам необходимо исследовать зависимость времени полного раскручивания $T(N)$ стержня от начального значения $N$ до нижнего положения (4).

4.1 Измерьте зависимость времени $T(N)$ полного раскручивания стержня от числа оборотов $N$ для значений $N=5,10,15,20,25,30$.

4.2 Оцените погрешность измерения времени раскручивания для $N=10$. Для этого проведите не менее 5 измерений этого времени.

4.3 Постройте в логарифмическом масштабе полученную зависимость $T(N)$.

4.4 Считая, что эта зависимость описывается формулой $T(N)=G N^{\gamma}$, определите показатель степени $\gamma$ в этой формуле.

4.5 Используя найденное значение показателя степени $\gamma$, рассчитайте значение показателя степени $\beta$ в формуле зависимости потенциальной энергии от координаты $U=B N^{\beta}$.

Считайте, что раскручивания стержня начинается с положения $N=30$.

4.6 Рассчитайте значения кинетической энергии стержня $E(k)$ после $k=5,10,15,20,25,30$ оборотов. Приведите формулы, которые вы использовали для расчета $E(k)$.

Значение коэффициента $B$ в формуле $U=B N^{\beta}$ подберите таким образом, чтобы значение кинетической энергии при $k=30$, совпадало со значением этой энергии, рассчитанным в п. 3.6.

4.7 Постройте на графике п. 2.4 график полученной в этой части зависимости. Обозначьте его №4.