В этой задаче мы рассмотрим маленький мячик, прыгающий туда-обратно между двумя точками. Ускорение свободного падения $g$, столкновения идеально упругие, сопротивление воздуха можно пренебречь, точки столкновения находятся на одной высоте. Рисунку сделаны не в масштабе.

Часть А. Две площадки (3.5 балла)

Рассмотрим мячик, прыгающий между двумя наклоненными площадками составляющими угол $\theta < 90^\circ$ с горизонтом. Точки отскока находятся на расстоянии $D$ друг от друга и шарик имеет скорость $v_0$ в них.

Мячик прыгает туда-обратно по одной и той же траектории, как это показано на рисунке.

A1  ^1.50 Для каких значений $\theta$ такое движение возможно? Чему равно $v_0$ для них?

Мячик также может лететь по одной траектории вправо и по другой влево. Угол между траекториями в точке отскока назовем $\phi \neq 0$.

A2  ^2.00 Для каких значений $\theta$ и $\phi$ такое движение возможно? Чему равно $v_0$ для них?

Часть B. Полусферическая яма (3.0 балла)

Теперь рассмотрим мячик, прыгающий внутри полусферической ямы радиусом $R$. Как в вопросе А2, мячик двигается в разные стороны по разным траекториям. Время полета в одну сторону $t_1$, в другую $t_2 \neq t_1$.

B1  ^3.00 Найдите все возможные значения $R$ и выразите их через $t_1$ и $t_2$.

Часть С. Синусоидальная яма (3.5 балла)

Теперь рассмотрим яму синусоидальной формы $y(x)= L \sin \dfrac{2x}{L}$. Мячик двигается в разные стороны по разным траекториям. Время полета в одну сторону $t_1$, в другую $t_2 \neq t_1$. Расстояние по горизонтали между точками отскока меньше чем $\pi L$.

C1  ^3.50 Найдите все возможные значения $L$ и выразите их через $t_1$ и $t_2$.