Pho.rs: "Рыбий глаз" Максвелла

A1 ^0.30 Кривизной плоской кривой $\rho$ называется величина, обратная радиусу кривизны траектории. Она может быть найдена следующим образом:
$$\rho=\frac{d\theta}{dl}
$$
где $dl$ — элемент длины кривой, а $d\theta$ — угол поворота касательной к кривой.
Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через $r$, $\alpha$ и $\displaystyle\frac{d\alpha}{dr}$.

A1. 1 $$\tan\alpha=r\displaystyle\frac{d\varphi}{dr} $$	0.10
A1. 2 $$d\theta=d\varphi+d\alpha $$	0.10
A1. 3 Получен правильный ответ: $$\rho=\frac{d\sin\alpha}{dr}+\frac{\sin\alpha}{r} $$	0.10

A2 ^1.00 Рассмотрим произвольную траекторию луча. Пусть при ${OA}_0=r_0$ показатель преломления $n(r_0)=n_0$, а угол $\alpha(r_0)=\alpha_0$.
Выразите кривизну траектории луча при $OA=r$ через $n_0$, $r_0$, $\alpha_0$, $r$, $n(r)$ и $\displaystyle\frac{dn(r)}{dr}$.

A2. 1 Указано, что для сферически симметричной среды инвариантом является: $$nr\sin\alpha=const $$	0.30
A2. 2 Доказано, что величина $nr\sin\alpha$ является инвариантом.	0.30
A2. 3 Получен правильный ответ: $$\rho=-\frac{n_0r_0\sin\alpha_0}{n^2r}\frac{dn}{dr} $$	0.40

A3 ^0.40 Используя результат пункта $\textbf{A2}$ , покажите, что кривизна траектории любого луча постоянна при условии:
$$n(r)=\frac{n_1}{1+\left(\displaystyle\frac{r}{a}\right)^2}
$$
где $n_1$ и $a$ — некоторые положительные постоянные.
Во всех остальных пунктах части $\textbf{A}$ эти постоянные считаются известными.
Выразите кривизну траектории луча $\rho$ через, $a$, $r_0$ и $\alpha_0$.

A3. 1 Прямой подстановкой или интегрированием показано, что лучи движутся по окружностям	0.30
A3. 2 Получен правильный ответ: $$\rho=\displaystyle\frac{2r_0\sin\alpha_0}{a^2+r^2_0} $$	0.10

A4 ^0.20 Чему равна максимально возможная кривизна траектории луча $\rho_{max}$ при произвольных значениях $r_0$ и $\alpha_0$?
Ответ выразите через $a$.

A4. 1 Получен правильный ответ:
$$\rho_{max}=\frac{1}{a}
$$

0.20

A5 ^0.80 Покажите, что траектории всех лучей, испущенных из точки $A$, находящейся на расстоянии $r_0$ от точки $O$, действительно проходят через одну общую точку $B$.
Найдите также величину расстояния $AB=L$. Ответ выразите через $r_0$ и $a$.

A5. 1 Показано, что траектории лучей, вышедших из одной точки, в дальнейшей проходят через общую точку $B$, лежащую на прямой, проходящей через точку $A$ и центр среды.	0.50
A5. 2 Получен правильный ответ: $$AB=r_0+\displaystyle\frac{a^2}{r_0} $$	0.30

A6 ^0.80 Из принципа Ферма следует, что время движения всех лучей от точки $A$ до точки $B$ одинаково.
Найдите время $T$ после вспышки лучей, через которое произойдёт их фокусировка.
Ответ выразите через $n_1$, $r_0$, $a$ и скорость света в вакууме $c$.
$\textit{Примечание:}$ вам может понадобиться следующий интеграл:
$$\int\frac{dx}{1+k\cos x}=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}\arctan\left(\sqrt{\frac{1-k}{1+k}}\tan\frac{x}{2}\right)+C\quad\text{при}\quad -1<{k}<1
$$

A6. 1 $$dt=\displaystyle\frac{ndl}{c} $$	0.10
A6. 2 $$T=\int\limits_0^{r_0}\frac{ndr}{c}+\int\limits_0^{\frac{a^2}{r_0}}\frac{ndr}{c} $$	0.20
A6. 3 Получен правильный ответ: $$T=\frac{n_1a}{c}\left(\arctan\frac{r_0}{a}+\arctan\frac{a}{r_0}\right) $$	0.40
A6. 4 Показано, что ответ не зависит от $r_0$ и равен: $$T=\displaystyle\frac{\pi n_1 a}{2c} $$	0.10

B1 ^1.20 Найдите радиус «Рыбьего глаза» $R$.

B1. 1 Указано, что источники и их изображения в "рыбьем глазе" образуют прямоугольник.	0.60
B1. 2 Восстановлены изображения источников в "рыбьем глазе".	0.20
B1. 3 Получен ответ, попадающий в ворота: $$R=28\pm{1}(28\pm{2})~\text{см} $$	2 × 0.20

B2 ^0.10 Соответствует ли изображение $S'_1$ источнику $S_1$? Ответ обоснуйте.

B2. 1 Указано, что $S'_1$ не соответствует $S_1$.

0.10

B3 ^1.20 Найдите фокусное расстояние линзы $F$.

B3. 1 Восстановлена плоскость линзы	0.60
B3. 2 Получен ответ, попадающий в ворота: $$F=15\pm{1}(15\pm{2})~\text{см} $$	2 × 0.30

C1 ^0.50 Найдите $\Delta{\varphi}$. Ответ выразите через $\alpha$, $n_1$, $a$ и $R$.

C1. 1 Из параксиального приближения получено: $$\Delta{\varphi}=2\theta~\displaystyle\frac{2R}{R+\displaystyle\frac{a^2}{R}} $$ или из точных уравнений найдено: $$\Delta{\varphi}=2\arcsin\frac{R\cos\theta}{L} $$	0.30
C1. 2 Получен правильный ответ: $$\Delta\varphi=\displaystyle\frac{4\alpha R^2}{n_1a^2} $$	0.20

C2 ^0.30 $\Delta{\alpha}$ можно представить как $\Delta{\alpha}=k\alpha$.
Найдите коэффициент пропорциональности $k$. Ответ выразите через $n_1$, $R$ и $a$.

C2. 1 Правильная геометрия: $$\beta=\alpha+\Delta{\varphi}-2\theta $$ или аналогичное уравнение.	0.20
C2. 2 Получен правильный ответ: $$k=2\left(1+\displaystyle\frac{(R^2-a^2)}{n_1a^2}\right) $$	0.10

C3 ^0.20 Выразите фокусное расстояние $F$ «Рыбьего глаза» через $R$ и $k$.

C3. 1 Получен правильный ответ:
$$F=\displaystyle\frac{R}{k}
$$

0.20

C4 ^1.00 При фиксированных значениях $n_1$ укажите, собирающей или рассеивающей является линза при разных значениях параметра $a$. Ответ обоснуйте.
Постройте графики зависимости фокусного расстояния $F(x)$ от параметра $x=\cfrac{R}{a}$ при всех его возможных значениях для $n_1=1.5;2.0;2.5;3.0;4.0$ и $R=5~\text{у.е}$.

C4. 1 Указаны возможные значения параметра $\displaystyle\frac{R}{a}$: $$\cfrac{R}{a}\leq{\sqrt{n_1-1}} $$	0.10
C4. 2 Обоснованно сделан вывод, что линза всегда является собирающей	0.20
C4. 3 На график нанесены соответствующие кривые.	5 × 0.10
C4. 4 Каждая из кривых построена только в ОДЗ.	0.20

D1 ^0.60 Найдите зависимость координаты $y$ пучка на экране от $h< h_1$ в эксперименте с линзой. Ответ выразите через $h$, $L$, $F_0$, $F$ и $R$.

D1. 1 Верно определён ход луча после преломления в линзе: $$\gamma F+y_1=\Delta\alpha F $$	0.20
D1. 2 Получен правильный ответ: $$y(h)=\frac{h}{F_0}\left(L-(L-F_0)\left(\frac{L}{F}-1\right)\right) $$	0.40

D2 ^0.40 Найдите зависимость координаты $y$ пучка на экране от $h< h_1$ в эксперименте без линзы. Ответ выразите через $h$, $L$, $F_0$, $F$ и $R$.

D2. 1 Получен правильный ответ:
$$y(h)=\frac{h}{F_0}(2L-F_0)
$$

0.40

D3 ^0.20 Найдите с точностью до третьей значащей цифры значения фокусного расстояния «Рыбьего глаза» $F_0$ и коэффициента пропорциональности $k$.

D3. 1 Найдено фокусное расстояние линзы $$F_0=\frac{2L}{1+k_2}=5,88~\text{см} $$	0.10
D3. 2 Найден коэффициент $k$ $$k=\frac{R}{F_0}=2,55 $$	0.10

D4 ^0.30 Определите численное значение радиуса линзы $r$.

D4. 1 Составлено уравнение для определения $r$: $$\frac{r}{L-F_0}=\frac{H'}{2L-F_0} $$	0.20
D4. 2 Получен правильный ответ: $$r=5{,}26~\text{см} $$	0.10

D5 ^0.30 Найдите с точностью до третьей значащей цифры численное значение фокусного расстояния линзы $F$. Собирающая или рассеивающая эта линза?

D5. 1 Получен правильный ответ для фокусного расстояния линзы $$F=-17{,}1~\text{см} $$	0.20
D5. 2 Указано, что линза является рассеивающей.	0.10

D6 ^0.60 Получите точное выражение для $\Delta{\varphi}$. Ответ выразите через $\alpha$, $n_1$, $a$, $R$.

D6. 1 Получен правильный ответ:
$$\Delta{\varphi}=2\arcsin\left(\frac{R}{a}\sqrt{\frac{1-\cfrac{\sin^2\alpha(R^2+a^2)^2}{n^2_1a^4}}{\cfrac{n^2_1a^2}{4R^2\sin^2\alpha}-1}}\right)
$$

0.60

D7 ^0.60 Получите уравнение, определяющее $n_1$. Уравнение должно содержать только $n_1$, $\alpha_0$ и $k$.

D7. 1 Получено верное уравнение относительно $n_1$.

0.60

D8 ^1.00 Внесите в таблицу в листе ответов значения углов $\theta(n_1)$ и $\Delta{\varphi}(n_1)$ с точностью до сотых градуса для указанных значений $n_1$.
Найдите с точностью до второй значащей цифры значения $n_1$ и $a$.

D8. 1 Получен правильный ответ: $$n_1=5{,}1\pm{0{,}2} $$	0.70
D8. 2 Получен правильный ответ: $$a=9{,7}\pm{0{,}7}~\text{см} $$	0.30

"Рыбий глаз" Максвелла

Разбалловка