Pho.rs: Циклы двигателя

A1 ^0.50 Определите температуру газа $T_2$ сразу по окончании сжатия. Ответ выразите через $T_1$, $\gamma$ и $n$.

1 Записано уравнение адиабаты: \[TV^{\gamma-1}=\operatorname{const},\]или аналогичное	0.20
2 Получен ответ: \[T_2=T_1 n^{\gamma-1}\]	0.30

A2 ^0.80 Определите работу $A_{12}'$, совершенную над газом при адиабатическом сжатии. Ответ выразите через $p_2$, $V_2$, $\gamma$ и $n$.

1 Записано уравнение адиабаты в интегральной форме: \[\dfrac{p_2V_2-p_1V_1}{\gamma-1}-A'_{12}=0,\]или аналогичное	0.40
2 Получен ответ: \[A'_{12}=p_2V_2\dfrac{1-n^{1-\gamma}}{\gamma-1}\]	0.40
3 Вместо работы над газом определена работа газа	-0.20

A3 ^0.70 Определите давление газа $p_3$ сразу после сгорания топлива в камере. Ответ выразите через $p_2$, $V_2$, $\gamma$, $n$ и $Q_{in}$.

1 Записано первое начало термодинамики: \[Q_{in}=\dfrac{1}{\gamma-1}V_2(p_3-p_2)\]	0.50
2 Получен ответ: \[p_3=p_2+\dfrac{(\gamma-1)Q_{in}}{V_2}\]	0.20

A4 ^1.50 Определите КПД $\eta$ данного цикла. Ответ выразите через $\gamma$ и $n$. Рассчитайте численное значение для $\gamma=1.4$, $n=9$.

1 M1 Выражено давление в точке $4$: \[p_4=p_2 n^{-\gamma}+\dfrac{(\gamma-1)Q_{in}n^{-\gamma}}{V_2}\]	0.50
2 M1 Выражена отведенная теплота: \[Q_-=\dfrac{(p_4-p_1)nV_2}{\gamma-1}\]	0.40
3 M2 Выражена работа газа на участке $34$: \[A_{34}=p_3V_2\dfrac{1-n^{1-\gamma}}{\gamma-1}\]	0.50
4 M2 Выражена суммарная работа газа: \[A_0=Q_{in}(1-n^{1-\gamma})\]	0.40
5 Получен ответ (формула+число): \[\eta=1-n^{1-\gamma}\approx 0.58\]	2 × 0.30

B1 ^1.00 Получите зависимость перемещения поршня от наивысшего положения $x(\theta)$, где $\theta$ – угол поворота коленчатого вала, отсчитываемый от вертикали. Ответ выразите через $R$, $L$ и $\theta$.

1 M1 Записана теорема синусов: \[\dfrac{R}{\sin\psi}=\dfrac{L}{\sin\theta}\]	0.40
2 M1 Получено уравнение: \[L+R-x=L\cos\psi+R\cos\theta\]	0.30
3 M1 Получен ответ: \[x=L\left(1-\sqrt{1-\dfrac{R^2}{L^2}\sin^2\theta}\right)+R(1-\cos\theta)\]	0.30
4 M2 Записана теорема косинусов: \[(L+R-x)^2+R^2-2R(L+R-x)\cos\theta=L^2\]	0.40
5 M2 Получен ответ: \[x=L\left(1-\sqrt{1-\dfrac{R^2}{L^2}\sin^2\theta}\right)+R(1-\cos\theta)\]	0.60

B2 ^0.80 Выразите объём цилиндра $V(\theta)$ через $V_{\min}$, $D$ и $x(\theta)$. При $\theta\ll 1$ зависимость объема рабочего тела от угла $\theta$ можно приближенно записать как $V\approx V_{\min}+\beta\theta^2$. Определите $\beta$. Ответ выразите через $D$, $R$ и $L$. Используйте следующие приближения:
\[\cos\varphi\approx 1-\varphi^2/2,\quad\sin\varphi\approx\varphi{.}\]при $\varphi\ll 1$. Также используйте приближение $(1+x)^{\alpha}\approx1+\alpha x$ при $x\ll 1$.

1 Получен ответ: \[V=V_{\min}+\dfrac{\pi D^2}{4}x(\theta)\]	0.20
2 Получен ответ: \[\beta=\dfrac{\pi D^2 R}{8}\left(1+\dfrac{R}{L}\right)\]	0.60

B3 ^1.00 Предположим, что объем рабочего тела на участке сгорания топлива изменился на $\mathrm dV$. Получите уравнение, связывающее $\mathrm dV$, малое изменение давления под поршнем $\mathrm dp$, $V$, $p$, $Q_{in}$, $\theta_0$, $\beta$, $\gamma$ и $V_{\min}$.

1 Записано первое начало термодинамики: \[Q_{in}\dfrac{\mathrm d\theta}{\theta_0}=\mathrm dU+p\mathrm dV\]	0.20
2 Получено выражение: \[Q_{in}\dfrac{\mathrm d\theta}{\theta_0}=\dfrac{1}{\gamma-1}V\mathrm dp+\dfrac{\gamma}{\gamma-1}p\mathrm dV\]	0.30
3 Получено уравнение: \[\dfrac{Q_{in}\mathrm dV}{2\theta_0\sqrt{\beta(V-V_{\min})}}=\dfrac{1}{\gamma-1}V\mathrm dp+\dfrac{\gamma}{\gamma-1}p\mathrm dV\]	0.50

B4 ^0.80 Покажите, что из соотношения предыдущего пункта следует:
\[\mathrm d(pV^{\gamma})={A\dfrac{V^{\gamma-1}\mathrm dV}{\sqrt{V-V_{\min}}}}{}\]Определите $A$. Ответ выразите через $Q_{in}$, $\theta_0$, $\beta$ и $\gamma$.

1 Выражение корректно продифференцировано: \[\mathrm d(pV^{\gamma})=V^{\gamma-1}(\gamma-1)\left(\dfrac{1}{\gamma-1}V\mathrm dp+\dfrac{\gamma}{\gamma-1}p\mathrm dV\right)\]	0.30
2 Получен ответ: \[A=\dfrac{Q_{in}(\gamma-1)}{2\theta_0\sqrt \beta}\]	0.50

B5 ^0.50 Пусть подведенное количество теплоты $Q_{\text{in}} = 1.3 ~\text{кДж}$, $p_1 = 10^5 ~\text{Па}$, $\theta_0 = 20^\circ$. Определите численно давление газа в конце подвода тепла $p_3'$. Считайте, что процесс горения происходит при $0\leqslant\theta\leqslant\theta_0$, а также $\theta_0\ll 1$.

1 Вычислен объем рабочего тела в конце сгорания топлива: \[V_1=V_{\min}+\beta\theta_0^2\approx 120.4~см^3\]	0.10
2 Корректно выбрано конечное значение $f(V)$ (не оценивается, если не была проведена интерполяция функции)	0.10
3 Получен ответ: \[p'_3\approx [50.3;50.7]\cdot 10^5~Па\]	0.30

B6 ^1.00 Определите, какая теплота $Q_{-}$ отводится от газа в цикле. Ответ выразите через $V_{\min}$, $p_3'$, $p_1$, $R$, $D$, $\gamma$, $\beta$ и $\theta_0\ll 1$.

1 Определено давление в точке $4'$: \[p'_4=p'_3\dfrac{(V_{\min}+\beta\theta_0^2)^{\gamma}}{\left(V_{\min}+\dfrac{\pi D^2 R}{2}\right)^{\gamma}}\]	0.50
2 Указано или используется, что объем рабочего тела в процессе отведения теплоты постоянен и равен $V_{\min}+\dfrac{\pi D^2 R}{2}$	0.20
3 Получен ответ: \[Q_-=\dfrac{1}{\gamma-1}\left(V_{\min}+\dfrac{\pi D^2 R}{2}\right)\left[p'_3\dfrac{(V_{\min}+\beta\theta_0^2)^{\gamma}}{\left(V_{\min}+\dfrac{\pi D^2 R}{2}\right)^{\gamma}}-p_1\right]\]	0.30

B7 ^0.50 Определите численно КПД $\eta_{Otto}$ идеального цикла Отто, описанного в начале части B.

1 Выражена степень сжатия $n$: \[n=1+\dfrac{\pi D^2 R}{2 V_{\min}}\]	0.30
2 Получен ответ: \[\eta_{Otto}\in [0.511;0.514]\]	0.20

B8 ^0.90 Определите численно КПД $\eta'$ рассмотренного цикла. Рассчитайте разность $\Delta\eta=\eta_{Otto}-\eta'$ КПД идеального цикла Отто и реального цикла, рассмотренных в части B.

1 Указана формула расчета КПД: \[\eta'=1-\dfrac{Q_-}{Q_{in}}\]	0.10
2 Получен ответ: \[\eta'\in[0.495;0.505]\]	0.40
3 Получен ответ (оценивается при полном балле за B7.2 и B8.2): \[\Delta\eta\in[0.01;0.02]\]	0.40

Циклы двигателя

Разбалловка