A1  ^0.50 Определите температуру газа $T_2$ сразу по окончании сжатия. Ответ выразите через $T_1$, $\gamma$ и $n$.

Запишем уравнение адиабаты:
\[TV^{\gamma-1}=\operatorname{const}\]Объем уменьшился в $n$ раз, поэтому:

A2  ^0.80 Определите работу $A_{12}'$, совершенную над газом при адиабатическом сжатии. Ответ выразите через $p_2$, $V_2$, $\gamma$ и $n$.

Запишем уравнение адиабаты в интегральной форме:
\[\Delta Q=\Delta U-A'_{12}=\dfrac{p_2V_2-p_1V_1}{\gamma-1}-A'_{12}=0\]Из уравнения адиабаты:
\[p_1V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma},\]также $V_1=nV_2$.
Отсюда:

A3  ^0.70 Определите давление газа $p_3$ сразу после сгорания топлива в камере. Ответ выразите через $p_2$, $V_2$, $\gamma$, $n$ и $Q_{in}$.

Процесс сгорания топлива изохорный, поэтому вся подведенная теплота расходуется на изменение внутренней энергии рабочего тела:
\[Q_{in}=\dfrac{1}{\gamma-1}V_2(p_3-p_2)\]Отсюда:

A4  ^1.50 Определите КПД $\eta$ данного цикла. Ответ выразите через $\gamma$ и $n$. Рассчитайте численное значение для $\gamma=1.4$, $n=9$.

Из уравнения адиабаты давление в точке $4$ равно:
\[p_4=p_3n^{-\gamma}=p_2 n^{-\gamma}+\dfrac{(\gamma-1)Q_{in}n^{-\gamma}}{V_2}\]Отведение теплоты от рабочего тела выполняется также изохорно, поэтому отведенную теплоту $Q_-$ можно выразить как:
\[Q_-=\dfrac{(p_4-p_1)nV_2}{\gamma-1}\]Подставляя значения $p_4$ и $p_1=p_2n^{-\gamma}$, получаем:
\[Q_-={Q_{in}n^{1-\gamma}}\]Отсюда:

B1  ^1.00 Получите зависимость перемещения поршня от наивысшего положения $x(\theta)$, где $\theta$ – угол поворота коленчатого вала, отсчитываемый от вертикали. Ответ выразите через $R$, $L$ и $\theta$.

Из теоремы синусов найдем угол $\psi$ между вертикалью и шатуном:
\[\dfrac{R}{\sin\psi}=\dfrac{L}{\sin\theta}\]Проецируя векторы сторон треугольника на вертикаль, получаем:
\[L+R-x=L\cos\psi+R\cos\theta\]Учитывая, что $\cos\beta=\sqrt{1-\dfrac{R^2}{L^2}\sin^2\theta}$, получаем:

B2  ^0.80 Выразите объём цилиндра $V(\theta)$ через $V_{\min}$, $D$ и $x(\theta)$. При $\theta\ll 1$ зависимость объема рабочего тела от угла $\theta$ можно приближенно записать как $V\approx V_{\min}+\beta\theta^2$. Определите $\beta$. Ответ выразите через $D$, $R$ и $L$. Используйте следующие приближения:
\[\cos\varphi\approx 1-\varphi^2/2,\quad\sin\varphi\approx\varphi{.}\]при $\varphi\ll 1$. Также используйте приближение $(1+x)^{\alpha}\approx1+\alpha x$ при $x\ll 1$.

Выразим суммарный объем рабочего тела:

Раскладывая до второго порядка выражение для $x(\theta)$, получаем:
\[V\approx V_{\min}+\dfrac{\pi D^2 R}{8}\left(1+\dfrac{R}{L}\right)\theta^2,\]отсюда:

B3  ^1.00 Предположим, что объем рабочего тела на участке сгорания топлива изменился на $\mathrm dV$. Получите уравнение, связывающее $\mathrm dV$, малое изменение давления под поршнем $\mathrm dp$, $V$, $p$, $Q_{in}$, $\theta_0$, $\beta$, $\gamma$ и $V_{\min}$.

Запишем первое начало термодинамики:
\[Q_{in}\dfrac{\mathrm d\theta}{\theta_0}=\dfrac{1}{\gamma-1}V\mathrm dp+\dfrac{\gamma}{\gamma-1}p\mathrm dV\]Свяжем дифференциалы:
\[\mathrm dV=2\beta\theta\mathrm d\theta\]Учитывая, что $\theta=\sqrt{\dfrac{{V-V_{\min}}}{\beta}}$, получим итоговое уравнение:

B4  ^0.80 Покажите, что из соотношения предыдущего пункта следует:
\[\mathrm d(pV^{\gamma})={A\dfrac{V^{\gamma-1}\mathrm dV}{\sqrt{V-V_{\min}}}}{}\]Определите $A$. Ответ выразите через $Q_{in}$, $\theta_0$, $\beta$ и $\gamma$.

Дифференцируя, получаем:
\[\mathrm d(pV^{\gamma})=V^{\gamma-1}(\gamma-1)\left(\dfrac{1}{\gamma-1}V\mathrm dp+\dfrac{\gamma}{\gamma-1}p\mathrm dV\right)=\dfrac{Q_{in}(\gamma-1)V^{\gamma-1}\mathrm dV}{2\theta_0\sqrt{\beta(V-V_{\min})}}\]Отсюда:

B5  ^0.50 Пусть подведенное количество теплоты $Q_{\text{in}} = 1.3 ~\text{кДж}$, $p_1 = 10^5 ~\text{Па}$, $\theta_0 = 20^\circ$. Определите численно давление газа в конце подвода тепла $p_3'$. Считайте, что процесс горения происходит при $0\leqslant\theta\leqslant\theta_0$, а также $\theta_0\ll 1$.

Будем вести расчеты достаточно точно, так как в конце задачи потребуется расчет разности близких величин.
В конце сгорания топлива объем рабочего тела равен:
\[V_1=V_{\min}+\beta\theta_0^2\approx 120.4~см^3\]Аппроксимируем значение $f(V)$ между $V=120~см^3$ и $V=125~см^3$ линейной функцией. Из этих соображений примем значение $f(V)$ при угле поворота коленчатого вала на $\theta_0$ равным $f_0=71.5~м^{-\frac{3}{2}}$.
Подставим в формулу из условия численные значения и получим:

B6  ^1.00 Определите, какая теплота $Q_{-}$ отводится от газа в цикле. Ответ выразите через $V_{\min}$, $p_3'$, $p_1$, $R$, $D$, $\gamma$, $\beta$ и $\theta_0\ll 1$.

Из уравнения адиабаты определим давление в точке $4'$:
\[p'_4=p'_3\dfrac{(V_{\min}+\beta\theta_0^2)^{\gamma}}{\left(V_{\min}+\dfrac{\pi D^2 R}{2}\right)^{\gamma}}\]Процесс отведения тепла изохорный, поэтому:

B7  ^0.50 Определите численно КПД $\eta_{Otto}$ идеального цикла Отто, описанного в начале части B.

Степень сжатия $n$ может быть выражена как:
\[n=1+\dfrac{\pi D^2 R}{2 V_{\min}}\approx 6.0265\]Отсюда:
\[\eta_{Otto}=1-n^{1-\gamma}\approx 0.5124\]

B8  ^0.90 Определите численно КПД $\eta'$ рассмотренного цикла. Рассчитайте разность $\Delta\eta=\eta_{Otto}-\eta'$ КПД идеального цикла Отто и реального цикла, рассмотренных в части B.

КПД предложенного цикла можно рассчитать по формуле:
\[\eta'=1-\dfrac{Q_-}{Q_{in}}\approx 0.5002\]

Рассчитаем $\Delta\eta$:

КПД цикла двигателя действительно уменьшается при увеличении скорости вращения коленчатого вала.