1  ^?? Пусть начальная скорость кольца такова, что оно полностью оказалось в магнитном поле. Определите угловую скорость вращения кольца сразу после этого.

На участки кольца, находящиеся в магнитном поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная вектору $\vec{B}$ и вектору скорости участка кольца. Можно рассматривать движение кольца как наложение поступательного движения в направлении вдоль границы со скоростью $v_{x}$, поступательного движения перпендикулярно границе со скоростью $v_{y}$ и вращения с угловой скоростью $\omega$.

Из-за поступательного движения в направлении $y$ возникает момент силы Лоренца, раскручивающий кольцо. Этот момент сил исчезает только после того, как кольцо полностью окажется в области поля. Сумма сил Лоренца, действующих на участки в области поля, связанная с движением вдоль $y$, направлена вдоль границы и изменяет значение $v_{x}$.

Силы Лоренца, связанные с поступательным движением вдоль оси $x$, изменяют скорость $v_{y}$, но не создают момента сил, раскручивающих кольцо. Силы Лоренца, возникающие из-за вращательного движения кольца, как легко убедиться, действуют только вдоль $y$ и не влияют на движение вдоль $x$.

Рассмотрим тангенциальную составляющую силы Лоренца, действующую на участок кольца длины $\Delta l$, связанную с $v_{y}$. Она равна $\lambda\Delta l Bv_{y}\cos\varphi$, где $\varphi$ — угол между этим участком и осью $x$. Величина $\Delta l \cos\varphi$ представляет собой проекцию этого участка на $x$, а сумма тангенциальных составляющих для всех участков, находящихся в области магнитного поля, будет равна $\lambda l_xBv_{y}$, где $l_{x}$ — длина хорды, стягивающей концы участка кольца, находящегося в области поля. Тогда $$mR\frac{d\omega}{dt} = \lambda Bv_{y}l_{x}.$$

После домножения обеих частей уравнения на $dt$, с учётом того, что $v_{y} dt = dy$, а $l_{x}dy = dS$, где $dS$ — дополнительная площадь кольца, которая оказывается в области поля за время $dt$, получаем $$mRd\omega = \lambda \cdot dФ,$$где $dФ$ — прирост потока магнитного поля через плоскость кольца.

Если кольцо полностью окажется в области магнитного поля, его угловая скорость вращения будет равна
$$\omega = \frac{\pi\lambda BR}{m}.$$

2  ^?? Определите минимальное значение начальной скорости $v_{\min}$, при которой кольцо целиком окажется в области магнитного поля.

Как отмечалось выше, вращение не влияет на проекцию скорости $v_{x}$, её изменение целиком определяется $y$-проекцией скорости центра и зарядом той части кольца (дуги длины $l$), которая находится в поле.
$$m\frac{dv_{x}}{dt} = \lambda lBv_{y}.$$

Пусть $y$ — координата точки кольца, наиболее удалённой от границы. Другими словами, это расстояние, на которое сместилось кольцо в направлении $y$ от начала движения. Тогда $l = 2R\arccos\left(\cfrac{R - y}{R}\right)$. Далее
$$m\frac{dv_{x}}{dt} = 2\lambda BRv_{y}\arccos\left(\cfrac{R - y}{R}\right).$$

Домножив на $dt$, переходим к интегралу
$$v_{x} = \frac{2\lambda BR}{m}\int_{0}^{2R}{\arccos\left(\frac{R - y}{R}\right)dy} = \frac{2\pi\lambda BR^{2}}{m}.$$

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии, учитывая тот факт, что сила Лоренца работы не совершает и кинетическая энергия кольца в любой момент времени равна начальной.
$$\frac{m{v_{0}}^{2}}{2} = \frac{m{v_{x}}^{2}}{2} + \frac{m{v_{y}}^{2}}{2} + \frac{mR^{2}\omega^{2}}{2}.$$

Для ответа на второй вопрос задачи положим в этом выражении $v_{y} = 0$ и воспользуемся результатом ответа на первый пункт для угловой скорости. Тогда $${v_{\min}}^{2} = {v_{x}}^{2} + R^{2}\omega^{2} = 5\left( \frac{\pi\lambda BR^{2}}{m} \right)^{2}.$$

3  ^?? Определите угол $\theta$, который будет составлять вектор скорости центра кольца с границей области магнитного поля сразу после того, как кольцо полностью пересечёт границу.

Поскольку $v_x$ уже найдено, то для ответа на третий вопрос достаточно определить проекцию $v_y$ в момент, когда кольцо целиком окажется в поле.

Из закона сохранения энергии находим: $v_{y} = \sqrt{{v_{0}}^{2} - {v_{x}}^{2}-\omega^2 R^2}=\sqrt{{v_{0}}^{2} - {v_{\min}}^{2}}$. Для тангенса искомого угла: $\tan\theta = v_y/v_x$.

Следовательно,
$$\tan\theta = \frac{\sqrt{{v_{0}}^{2} - {v_{\min}}^{2}}}{{v_x}}=\sqrt{ \left(\frac{mv_0}{2\pi\lambda BR^{2}}\right)^2-\frac{5}{4}}.$$

4  ^?? Определите максимальное расстояние $y_{\max}$ от границы, на которое удалится центр кольца.

С момента, когда кольцо целиком оказывается в области поля его угловая скорость перестаёт меняться и центр кольца движется как точечный заряд $q = 2\pi R\lambda$ со скоростью, проекции которой равны значениям $v_{x}$ и $v_{y}$ в момент пересечения границы области последней точкой кольца. С этого момента $$m\frac{dv_{x}}{dt} = 2\pi\lambda RBv_{y}.$$

После уже традиционного домножения на $dt$ и интегрирования получаем $$\Delta y = \frac{m\Delta v_{x}}{2\pi\lambda RB}.$$Здесь $\Delta y$ — изменение $y$ — координаты центра от момента полного вхождения в поле до момента максимального удаления центра от границы, $\Delta v_{x}$- соответствующее этим моментам времени изменение проекции скорости.

$v_{x}$ в момент максимального удаления можно найти из закона сохранения энергии
$$v_{x} = \sqrt{{v_{0}}^{2} - \left( \frac{\pi\lambda BR^{2}}{m} \right)^{2}}.$$Тогда
$$\Delta v_{x} = \sqrt{{v_{0}}^{2} - \left( \frac{\pi\lambda BR^{2}}{m} \right)^{2}} - \frac{2\pi\lambda BR^{2}}{m}.$$