A1  ^0.80 Пусть общее число молей газа углекислого газа в закрытой бутылке $\nu_0 = 0.05$ моль, объем жидкости $V_L =250$ мл, объем газа $V_G = 5$ мл. Найдите давление $P$ углекислого газа в бутылке. Приведите также численное значение. \textbf{В дальнейших пунктах считайте, что жидкость находится в открытом сосуде.}

A1. 1 Уравнение состояния для углекислого газа $PV_G = \nu_G R T$	0.10
A1. 2 Использована связь давления газа и концентрации $c = k_H P$	0.10
A1. 3 Связь количества вещества в газе и концентрации $\nu _L = c V_L$	0.10
A1. 4 Уравнение $\nu_0 = \nu_G + \nu_L$	0.20
A1. 5 Ответ $$ P = \frac{\nu_0 R T}{V_G + k_H V_L RT} $$	0.20
A1. 6 Численное значение $P = 5.4 \cdot 10^6~\text{Па}$	0.10

A2  ^0.70 Пузырь с углекислым газом сможет образоваться, только если давление углекислого газа в нем сможет уравновесить давление, создаваемое силами поверхностного натяжения. Найдите минимальный радиус пузырька $R^*$, который сможет образоваться. Выразите ответ через молярную концентрацию газа в жидкости $c$, атмосферное давление $P_0$, а также физические постоянные, характеризующие жидкость. Чему равна концентрация $c$, если критический радиус $R^* = 1.5 \cdot 10^{-6}$ м?

A2. 1 Давление углекислого газа в пузырьке $P_{CO_2} = P_0 + 2\gamma/R$	0.20
A2. 2 Правильный коэффициент в давлении, создаваемом поверхностным натяжением $2 \gamma /R$	0.10
A2. 3 Использована связь давления углекислого газа и концентрации $c = k_H P$	0.10
A2. 4 Ответ для критического радиуса $$ R^* = \frac{2 \gamma k_H}{c - k_H P_0} $$	0.20
A2. 5 Численное значение концентрации $ c \approx 61 \frac{моль}{м^3} $	0.10

A3  ^1.00 Используя приведенные соображения, найдите коэффициент диффузии $B$. Выразите ответ через $k_B$, $T$, $\beta$. Определите подвижность молекул $\beta$ через вязкость $\eta$ и размер молекул. Найдите чиcленное значение коэффициента диффузии. \textbf{Если вам не удастся решить этот пункт, можете для получения численных ответов в дальнейшем использовать значение} $B = 5 \cdot 10^{-9} \text{м}^2/\text{с}$.

A3. 1 Поток за счет действия силы $n \beta F$	0.20
A3. 2 Поток за счет диффузии $-B dn/dz = - BnF/k_BT$	0.20
A3. 3 Выражение для коэффициента диффузии через подвижность $B = \beta k_B T$	0.30
A3. 4 Оценка подвижности вида $\beta = \frac{1}{6 \pi \eta r}$	0.10
A3. 5 Численное значение коэффициента диффузии $B = 1.38 \cdot 10^{-9}~м^2/с$	0.20

B1  ^1.00 Найдите, как диаметр $D$ пузыря зависит от времени. Начальный диаметр считайте приближенно равным нулю, ответ выразите через $f_1$, $f_2$, $c$, $c_i$, $R$, $T$,$P_0$. Давление в пузыре и температуру можно считать постоянными, вкладом поверхностного натяжения и давления столба жидкости в давление газа в пузыре можно пренебречь.

B1. 1 Связь количества вещества в пузыре и объема $ V = \frac{RT}{P} \nu. $	0.20
B1. 2 Скорость изменения объема $ \frac{dV}{dt} = \frac{RT}{P} \frac{d\nu}{dt} = \frac{RT}{P} k S (c-c_i) $	0.20
B1. 3 Дифференциальное уравнение на диаметр $ 2D\frac{dD}{dt} = \frac{2f_1}{3\kappa f_2} \frac{RT}{P}B(c-c_i) $	0.30
B1. 4 Ответ $ D = \sqrt{\frac{2f_1}{3\kappa f_2} \frac{RT}{P}B(c-c_i) t} $	0.30

B2  ^0.70 Найдите выражения для $f_1(\theta)$ и $f_2(\theta)$. Постройте (качественно) график отношения $f_1/f_2$ при $\theta \in (0,\,\pi/2)$.

B2. 1 $f_1 = \frac{\pi }{2} \left(1 + \cos \theta \right) $	0.20
B2. 2 $f_2 = \frac{\pi}{24}\left(2 + 3\cos \theta - \cos^3 \theta \right)$	0.30
B2. 3 График	0.20

B3  ^0.30 Найдите радиус пузыря $R$, при котором он оторвется от поверхности. Считайте, что он крепится к поверхности по окружности радиуса $a_d \ll R$, угол между пузырьком и поверхностью равен $\theta$,

B3. 1 Равенство силы поверхностного натяжения и силы Архимеда	0.10
B3. 2 Ответ $ r = \left(\frac{3 a_d \gamma \sin \theta}{2\rho g} \right)^{1/3} $	0.20

B4  ^0.80 После того, как пузырь оторвался от поверхности, вблизи нее остается участок жидкости с пониженной концентрацией растворенного углекислого газа. Из-за этого до того момента, когда в том же месте начнет формироваться следующий пузырь, должно пройти некоторое время $t_n$. Считайте, что концентрация углекислого газа понижена в области размера $D_m$, а глубина дефекта, которую нужно заполнить углекислым газом равна $h \ll D_m$. Зависимость концентрации от расстояния до поверхности линейная. Найдите время $t_n$, за которое пузырь, возникший на дне дефекта, вырастет до поверхности стекла. Концентрация вблизи дефекта равна минимальной концентрации $c_n$, при которой возможно существование пузырька, зависимость концентрации от расстояния можно считать линейной.

B4. 1 Выражение для потока углекислого газа $ j = B \frac{c - c_n}{D_m}. $	0.30
B4. 2 Скорость наполнения дефекта $ \frac{dh}{dt} = \frac{RT}{P} B\frac{c - c_n}{D_m} $	0.20
B4. 3 Ответ $ t_n = \frac{P}{RT} \frac{h D_m}{B(c-c_n)} $	0.30

B5  ^0.70 Пусть $t_g$ — время, за который пузырь вырастает от края дефекта до своего максимального диаметра $D_m$. При изменении концентрации углекислого газа в жидкости это время, как и время формирования пузыря $t_n$ могут меняться. В каких координатах зависимость $t_g$ от $t_n$ будет иметь линейный вид?

B5. 1 Выражение для времени роста пузыря $ t_g = \frac{D_m^2}{K_1(c-c_i)}, $	0.20
B5. 2 Зависимость $1/t$ от концентрации линейна	0.20
B5. 3 Зависимость в координатах $1/t_g$ от $1/t_n$	0.30

C1  ^0.40 Скорость всплывания пузырька определяется действующей на него силой вязкого трения, которую можно рассчитать по формуле Стокса $F = 6 \pi \eta aU$, где $a$ — радиус пузырька, $U$ — скорость пузырька, $\eta$ — вязкость жидкости. Найдите скорость всплывания пузырька радиуса $a$.

C1. 1 Равенство силы вязкости и силы Архимеда	0.20
C1. 2 Ответ $ U = \frac{2 \rho g}{9 \eta}a^2 $	0.20

C2  ^0.60 Найдите скорость изменения радиуса пузырька $da/dt$. Выразите ответ через $a$, разность концентраций $\Delta c$, температуру $T$, атмосферное давление $P_0$, $\Delta c$ и физические постоянные.

C2. 1 Выражение для коэффициента пропорциональности $ K = 0.38 B^{2/3} \left(\frac{ \rho g}{ \eta}\right)^{1/3} $	0.20
C2. 2 Связь производных объема и радиуса $ \frac{dV}{dt} = S \frac{da}{dt} $	0.10
C2. 3 Ответ $ \frac{da}{dt} = 0.38 B^{2/3} \left(\frac{ \rho g}{ \eta}\right)^{1/3} \frac{RT}{P} \Delta c $	0.30

C3  ^0.80 Пузырек всплывает со дна сосуда, начальный радиус $a_0$. Найдите его радиус $a$ и объем $V_b$ вблизи поверхности.

C3. 1 Связь времени и высоты $dt = dh/U$	0.10
C3. 2 Скорость изменения радиуса с высотой $da/dh \sim 1/a^2$	0.20
C3. 3 Получена зависимость вида $a^3 \sim h - h_0$	0.20
C3. 4 Ответ $ a^3 = \frac{27 \eta v}{2 \rho g} h + a^3_0 $ ($v = 0.38 B^{2/3} \left(\frac{ \rho g}{ \eta}\right)^{1/3} \frac{RT}{P} \Delta c$)	0.20
C3. 5 $V_b = 4\pi a^3/3$	0.10

С4  ^1.50 Пузырьки будут образовываться, пока концентрация углекислого газа в жидкости не упадет от начального значения $c$ до некоторого критического значения $c_n$, при котором пузыри перестанут образовываться. Найдите общее число пузырей $N$, которые смогут появиться за все время. Выразите ответ через объем жидкости $V_L$, ее глубину $h$, начальную и конечную концентрации углекислого газа и постоянные, характеризующие жидкость и газ.

Найдите также численное значение. Используйте данные $c=100~\text{моль}/\text{м}^3$, $c_n = 50~\text{моль}/\text{м}^3 $, $V_L = 0.5$ литра, диаметр сосуда $\xi = 6$ см.


Считайте, что концентрация вблизи поверхности пузырька такая, что газ углекислый газ в пузырьки находится в равновесии с растворенным в жидкости. Все пузыри всплывают со дна сосуда, а их начальный радиус равен нулю. Изменением концентрации за время от образования пузырька до того, как он достигнет поверхности, можно пренебречь.

С4. 1 Использована правильная разность концентраций $\Delta c = c - k_H P_0$	0.30
С4. 2 Уменьшение концентрации углекислого газа в жидкости связано с объемом всплывающих пузырьков $ dc =- \frac{\nu _b}{V_L} $	0.20
С4. 3 Выражение для числа пузырьков через изменение концентрации $ dN = -\frac{dc V_L}{\nu_b} $	0.20
С4. 4 Соотношение вида $dN \sim dc/\Delta c$	0.30
С4. 5 Ответ $ N = 0.093\left( \frac{\rho g }{B \eta} \right)^{2/3} \frac{V_L}{h} \ln \frac{c - k_H P_0}{c_n - k_H P_0} $	0.30
С4. 6 Численное значение $N \approx 10^7$	0.20

C5  ^0.70 Предположим, что все образовавшиеся в процессе пузырьки не разрушаются, а их размеры равны размерам пузырьков, достигающих поверхности жидкости при конечной концентрации углекислого газа. Пена какой высоты $H$ образуется на поверхности жидкости?

C5. 1 Связь высоты пени и объема пузырьков $H = V/S$	0.10
C5. 2 Выражение для объема пены через число пузырьков $V=V_b N$	0.10
C5. 3 Найдена высота жидкости $h = V/(\pi \xi^2/4) \approx 17.7 ~см $	0.10
C5. 4 Ответ $ H = \frac{RT}{P} (c_n - k_H P_0) h \ln \frac{c - k_H P_0}{c_n - k_H P_0} $	0.20
C5. 5 Численное значение $H \approx 9~ см$	0.20