1  ^?? С какой скоростью и в каком направлении движется поршень в начальный момент времени?

Пусть $V_в$ — объём верхней части сосуда, $V_1$ и $V_2$ — объёмы газа и, соответственно, газированной воды в нижней части сосуда. Так как вода поступает с постоянной скоростью, а суммарный объём сосуда равен $2V_0$, то
$$V_2=qt,\qquad V_1=2V_0-V_в-qt.$$Рассмотрим случай, когда вода ещё не заполнила всю нижнюю часть сосуда ($V_1>0$). Поршень, разделяющий сосуд, лёгкий и двигается без трения, поэтому давление углекислого газа $P$ по обе стороны от него одинаково.
Масса $CO_2$, растворённого в воде, согласно закону Генри равна
$$m_2=\mu_рV_2=kPV_2=kPqt.$$В начальный момент массы газа в верхней и нижней частях сосуда равны, следовательно в некоторый момент $t$ масса газа под поршнем
\[m_1=m_в-m_2=m_в-kPqt,\tag{*}\]где $m_в$ — масса углекислого газа в верхней части сосуда.
Запишем теперь уравнения Менделеева–Клапейрона для газа, находящегося по обе стороны от поршня, и, выражая оттуда массы, подставим их в уравнение $(*)$
$$\left\{\begin{array}{l} PV_в=m_вRT_0/M,\\ PV_1=m_1RT_0/M\end{array}\right. \qquad\Rightarrow\qquad \frac{PV_1M}{RT_0}=\frac{PV_вM}{RT_0}-kPqt\qquad\Rightarrow$$$$\Rightarrow\qquad V_1=V_в-\frac{kRT_0}{M}\cdot qt.$$Отсюда, решая систему, найдём, что
\[V_в=V_0+\frac{qt}{2}\left(\frac{kRT_0}{M}-1\right),\qquad V_1=V_0-\frac{qt}{2}\left(\frac{kRT_0}{M}+1\right).\tag{**}\]Поскольку $$\frac{kRT_0}{M} =\frac{3{,}17\cdot 10^{-5}\cdot 8{,}31\cdot 274}{0{,}044} \approx1{,}64 > 1,$$ то из первого выражения в $(**)$ следует, что $V_в$ увеличивается с постоянной скоростью, а поршень двигается вниз. Скорость его движения равна
$$v_п=\frac{\Delta V_в}{S\Delta t}=\frac{q}{2S}\left(\frac{kRT_0}{M}-1\right)=\frac{4\ см^3/с}{256\ см^2}\left(1{,}64-1\right)\approx 0{,}01\ см/с.$$

2  ^?? Через какое время с момента включения насоса достигается минимальное давление в верхней части сосуда?

Из второго выражения в $(**)$ следует, что объём газа над поверхностью воды в нижней части сосуда непрерывно уменьшается и в момент времени
$$t_1=\frac{2V_0}{q(kRT_0/M+1)}=\frac{2\cdot 6{,}6\ л}{0{,}004\ л/с\cdot (1{,}64+1)}\approx 1250\ с$$становится нулевым, весь газ оказывается растворенным в жидкости, а жидкость упирается в поршень. В дальнейшем поступающая вода будет поднимать поршень, а объём газа в верхней части сосуда станет уменьшаться.
Процесс, происходящий с газом над поршнем, изотермический, поэтому минимальное давление $P_{min}$ достигается при максимальном $V_в$, то есть через время $t=t_1$ после включения насоса.

3  ^?? Определите минимальное давление в верхней части сосуда за время работы насоса.

Максимальный объём верхней части сосуда достигается в момент времени $t_1$. Найдем этот объем, подставив выражение для $t_1$ в первую формулу $(**)$:
$$V_{в\,max} =2V_0\cdot\frac{kRT_0/M}{kRT_0/M+1} \approx 8{,}2\, л.$$Давление газа над поршнем в этот момент, cогласно закону Бойля–Мариотта, равно
$$P_{min} = \frac{P_0V_0}{V_{в\,max}} \approx 132\, кПа.$$

4  ^?? Сколько времени проработал насос до своего выключения?

В момент выключения насоса давление газа над поршнем равно $P_{кр}$, а объём верхней части сосуда составляет
$$V_{в\,кр}=\frac{P_0V_0}{P_{кр}}=\frac{2V_0}{5}=2{,}64\ л.$$Объём остальной части сосуда, заполненной водой, равен
$$V_{2\,кр}=2V_0-V_{в\,кр}=\frac{8V_0}{5}.$$Отсюда получим, что время работы насоса
$$t_2=\frac{V_{2\,кр}}{q}=\frac{8V_0}{5q}=2640\ с.$$

5  ^?? Постройте график зависимости объёма газа в верхней части сосуда от времени. Укажите на нём координаты характерных точек.

Исходя из результатов, полученных в предыдущих пунктах, график зависимости $V_в(t)$ имеет вид ломаной, состоящей из двух прямолинейных участков. Вершина ломаной находится в точке с координатами $(t_1;\,V_{в\,max})$, а её концы — в точках $(0;\,V_0)$ и $(t_2;\,V_{в\,кр})$. Построим график функции $V_в(t)$, отметив на нём характерные точки.