1  ^?? Продолжая свои эксперименты, Паша взял мощный лазер и стал светить им прямо на термистор. Оказалось, что диод при этом закрылся и, более того, никакие изменения ЭДС источника не приводили к его открытию!
Определите минимальную тепловую мощность $P$, передаваемую при этом от лазера термистору.

1 Для электрической цепи записано: $${\mathcal {E}}_1=U_R+U_r.$$	0.40
2 Для момента открытия диода записано: $$U_R=U_0.$$	0.30
3 В работе указано, что в момент открытия ток, протекающий через диод $I_D=0$, или указано, что токи через резистор и термистор равны: $I_r=I_R$.	0.30
4 Обосновано определено $\alpha(t_1-t_0)$: численно $\alpha(t_1-t_0)=0{,}5$ или в общем виде $$\alpha(t_1-t_0)=\sqrt{\frac{R_0}{r}\cdot\frac{(\mathcal{E}_1-U_0)}{U_0}}-1$$ЛИБО Обосновано определено сопротивление термистора в первом случае $R_1$: численно $$R_1=\frac{80}{3} Ом$$ или в общем виде $$R_1=\frac{U_0 r}{\mathcal{E}_1-U_0}.$$Примечание: Если обоснованно определено отношение $k/\alpha$ и $k(t_1-t_0)$ (см. критерий 6), то этот критерий считается выполненным.	1.00
5 Записано условие баланса мощностей при напряжении на термисторе, равном $U_0$, в отсутствии излучения лазера: $$\frac{U_0^2}{R_0}\cdot \left(1+\alpha(t_1-t_0)\right)^2 = k(t_1-t_0).$$ Примечание. Если перед $\alpha$ стоит знак $-$ вместо $+$, то балл за этот пункт не ставится, при этом остальные критерии могут быть засчитаны, если выполнены с учётом замены $\alpha \rightarrow -\alpha$. Если $R(t)$ из условия подставлено не правильно, то критерий не выполнен.	1.00
6 Обоснованно определено отношение $k/\alpha$ или обратное к нему: численно $$\frac{k}{\alpha}=0{,}3\ Вт$$ или в общем виде $$\frac{k}{\alpha}=\frac{U_0}{r}\cdot \frac{ \mathcal{E}_1-U_0}{\sqrt{\frac{R_0}{r}\cdot\frac{(\mathcal{E}_1-U_0)}{U_0}}-1},$$ЛИБО Обосновано определено $k(t_1-t_0)$: численно $k(t_1-t_0)=0{,}15~Вт$ или в общем виде: $$k(t_1-t_0)=\frac{U_0(\mathcal{E}_1-U_0)}{r}.$$	1.00
7 Записано условие баланса мощностей при напряжении на термисторе, равном $U$, в присутствии излучения лазера: $$\frac{U^2}{R(t)} + P = k(t-t_0).$$	1.00
Метод 1. В качестве условия для определения минимальной тепловой мощности $P$ предложено найти максимум или минимум функции, и в дальнейшем рассмотреть ограничение на эту функцию, накладываемое условием того, что диод закрыт.
9 M1 Записан явный вид функции. Исследуемая функция должна быть корректной, полученной из верных исходных уравнений. Например, предложено искать максимум функции $U(t)$ относительно $t$: $$U(t)^2=R_0\cdot\frac{k(t-t_0)-P}{(1+\alpha(t-t_0))^2},$$или максимум функции $U(R)$ относительно $R$: $$U(R)^2=\frac{k}{\alpha}\sqrt{R_0R}-\left(\frac{k}{\alpha}+P\right)R.$$	1.50
10 M1 Для предложенной функции верно определён максимум (минимум). Например, $$U_{max}^2= \frac{R_0 }{4} \frac {k^2/\alpha^2}{(k/\alpha+ P)}=\frac{R_0k/\alpha}{4(1+\alpha P/k)}.$$Примечание. Критерий оценивается, если выполнен критерий 1.9	1.00
11 M1 Для предложенной исследуемой функции корректным образом применено условие не открытия диода. Например, для функции $U(t)$ применено условие $U_{max}\leqslant U_0$ или аналогичные.	0.50
Метод 2. Рассмотрена ситуация, в которой диод открыт, а напряжение на термисторе равно напряжению открытия диода $\left(U(t)=U_0\right)$. В качестве условия для определения минимальной тепловой мощности $P$ лазера предложено рассмотреть условие не выполнения теплового баланса.
13 M2 В предположении, что диод открыт $\left(U(t)=U_0\right)$ записано $$U_0^2=R_0\cdot\frac{k(t-t_0)-P}{(1+\alpha(t-t_0))^2}$$или $$U_0^2=\frac{k}{\alpha}\sqrt{R_0R}-\left(\frac{k}{\alpha}+P\right)R.$$	1.50
14 M2 Правильно определён дискриминант квадратного уравнения: $$D=C\left(\frac{R_0k^2}{4U_0^2\alpha^2}-\frac{k}{\alpha}-P\right),$$где $C ~- $ константа, определяемая исходным уравнением. Например, $$D=\left(\frac{R_0 k}{2U_0^2\alpha}\right)^2-\frac{R_0 k}{U_0^2\alpha}-\frac{R_0 P}{U_0^2}$$	1.00
15 M2 Для найденного дискриминанта предложенной исследуемой функции корректным образом применено условие отсутствия решений. Например, $\frac{R_0k^2}{4U_0^2\alpha^2}-\frac{k}{\alpha}-P\leqslant 0$ или аналогичные.	0.50
16 Обоснованно определена минимальная тепловая мощность, передаваемая лазером: $$\quad P=0{,}0375\ Вт=37{,}5\ мВт.$$	1.00

2  ^?? Выключив лазер, Паша обнаружил, что диод остался закрытым, несмотря на то, что ЭДС источника была близка к ${\cal E}_{max}$. Удивившись, мальчик стал плавно уменьшать ЭДС. При каком максимальном значении ЭДС источника ${\cal E}_2$ диод снова откроется?

1 Предложено решать уравнение баланса мощностей в отсутствии излучения лазера как квадратное уравнение. Например, решать уравнение $$\frac{U_0^2 \alpha}{R_0 k}\cdot \left(1+\alpha(t_2-t_0)\right)^2 = \alpha(t_2-t_0)$$относительно $\alpha(t_2-t_0)$. Или, например, $$U_0^2=\frac{k}{\alpha}\sqrt{R_0R_2}-\frac{k}{\alpha}R_2$$относительно $R_2$.	1.00
2 Обоснованно найдено второе решение $\alpha(t_2-t_0)$: численно $\alpha(t_2-t_0)=2$ или в общем виде $$\alpha(t_2-t_0)= \frac{ R_0 k}{2 U_0^2 \alpha} -1 +\sqrt{\left(\frac{R_0 k}{2U_0^2\alpha}\right)^2-\frac{R_0 k}{U_0^2\alpha}}$$ЛИБО Обосновано определено сопротивление термистора в первом случае $R_2$: численно $$R_2=\frac{20}{3} Ом$$ или в общем виде $$R_2=\left(\sqrt{R_0} - \sqrt{\frac{U_0}{\mathcal{E}_1 - U_0}r}\right)^2.$$	1.00
3 Обоснованно получено $$\mathcal{E}_2=14\ В.$$	1.00