1  ^?? Продолжая свои эксперименты, Паша взял мощный лазер и стал светить им прямо на термистор. Оказалось, что диод при этом закрылся и, более того, никакие изменения ЭДС источника не приводили к его открытию!
Определите минимальную тепловую мощность $P$, передаваемую при этом от лазера термистору.

Когда диод открывается, напряжение на нём и на термисторе равно $U_0$, а сила тока через диод равна нулю. Поэтому сила тока, протекающего через резистор $r$ и термистор, равна $I=({\cal E}_1-U_0)/r$. С другой стороны,
$$I=U_0/R_0\cdot (1+\alpha(t_1-t_0))^2,$$ где $t_1$ — температура термистора в данном режиме. Приравнивая эти выражения, находим, что
$$\alpha(t_1-t_0)=\sqrt{\frac{R_0}{r}\cdot\frac{({\cal E}_1-U_0)}{U_0}}-1=0{,}5.$$Тепловая мощность, выделяющаяся на термисторе, должна в установившемся режиме рассеиваться в окружающий воздух. Поэтому
$$\frac{U_0^2}{R_0}\cdot (1+\alpha(t_1-t_0))^2 = k(t_1-t_0),$$где $k$ — коэффициент в законе Ньютона-Рихмана. Выразим из данного выражения величину $k/\alpha$:
$$\frac{k}{\alpha}=\frac{U_0^2}{R_0}\cdot \frac{(1+\alpha(t_1-t_0))^2}{\alpha(t_1-t_0)}=0{,}3\ Вт.$$Рассмотрим теперь случай, когда на термистор светят лазером. Запишем условие баланса мощностей при напряжении на термисторе, равном $U$:
$$\frac{U^2}{R_0}\cdot (1+\alpha(t-t_0))^2 + P = k(t-t_0).$$Выразим $U^2$:
\[U^2=R_0\cdot\frac{k(t-t_0)-P}{(1+\alpha(t-t_0))^2}\tag{*}\]и найдём максимум этой функции. Обозначая $z=\alpha(t-t_0-P/k)$, получим
$$U^2=\frac{R_0k/\alpha\cdot z}{(1+\alpha P/k+z)^2}=\frac{R_0k/\alpha}{\left(\frac{1+\alpha P/k}{\sqrt{z}}+\sqrt{z}\right)^2}.$$Далее используем неравенство о средних:
$$U^2\leqslant U_{max}^2=\frac{R_0k/\alpha}{4(1+\alpha P/k)}.$$Если диод не открывается при любой ЭДС источника,
$$U_{max}\leqslant U_0 \quad\Rightarrow\quad P\geqslant \frac{k}{\alpha}\cdot \left(\frac{R_0k/\alpha}{4U_0^2}-1\right)=0{,}0375\ Вт.$$Таким образом, минимальная тепловая мощность, которую должен передавать лазер, чтобы диод закрылся при любой ${\cal E}$, равна 37,5 мВт.

2  ^?? Выключив лазер, Паша обнаружил, что диод остался закрытым, несмотря на то, что ЭДС источника была близка к ${\cal E}_{max}$. Удивившись, мальчик стал плавно уменьшать ЭДС. При каком максимальном значении ЭДС источника ${\cal E}_2$ диод снова откроется?

Для того чтобы понять, почему диод после выключения лазера не открылся, заметим, что выражение $(*)$ при $P=0$ тоже имеет максимум, а следовательно напряжение на термисторе может быть меньше $U_0$ как при малых токах (и малых ЭДС), так и при больших токах (и, соответственно, больших ЭДС). Подставив в $(*)$ значения $U_0$, $R_0$, $k/\alpha$ и $P=0$, получим уравнение
$$\frac{\alpha(t-t_0)}{(1+\alpha(t-t_0))^2}=\frac29,$$которое имеет два корня: первый нам уже известен
$$\alpha(t_1-t_0)=1/2,$$а второй — новый
$$\alpha(t_2-t_0)=2.$$Рассчитаем для него ЭДС источника, считая ток через диод равным нулю:
$${\cal E}_2=I_2r+U_0=\frac{U_0r}{R_0}(1+\alpha(t_2-t_0))^2+U_0=\frac{9U_0r}{R_0}+U_0=14\ В.$$Таким образом, ЭДС источника надо уменьшить до 14 В, чтобы диод снова открылся.