1  ^?? Какова величина угла $\beta$ при вершине призмы, если при помещении на скошенную грань призмы $30\%$-ного раствора спирта с показателем преломления $n_{30} = 1.350$ граница освещённой области на экране пересекается с оптической осью линзы?

Обозначим показатель преломления стекла призмы через $n=1.500$, а показатель преломления исследуемой жидкости - через $n_x$.
Границу между освещённой и неосвещённой областями задаёт предельный луч, который ещё попадает в призму. Для такого луча после преломления в призме угол \(r_x\) удовлетворяет условию
\[
\sin r_x=\frac{n_x}{n}.
\]

Для 30%-ного раствора спирта $n_{30}=1.350$. Тогда
\[
\sin r_{30}=\frac{n_{30}}{n}=\frac{1.350}{1.500}=0.9,
\qquad
r_{30}=\arcsin 0.9.
\]

По условию именно для этого раствора граница освещённой области на экране проходит через главную оптическую ось линзы. Это значит, что соответствующий предельный луч после выхода из призмы идёт вдоль оптической оси. Следовательно, на выходной грани призмы этот луч не преломляется, то есть внутри призмы он идёт перпендикулярно выходной грани.
Отсюда
\[
r_{30}=90^\circ-\beta,
\]
или
\[
\beta=90^\circ-r_{30}=90^\circ-\arcsin\frac{n_{30}}{n}.
\]
Тогда можно записать:
\[
\beta=\arccos\frac{n_{30}}{n} = \arccos 0.9 \approx 25.8^\circ.
\]

2  ^?? Рассчитайте длину шкалы $d$ (см. рисунок) на полупрозрачном экране. Фокусное расстояние линзы $F = 10~см$. Показатель преломления чистой воды $n_0 = 1.333$, $60\%$-ного раствора спирта – $n_{60} = 1.362$.

Углы предельных лучей внутри призмы для чистой воды и 60%-ного раствора спирта:
\[
r_0=\arcsin\frac{n_0}{n}=\arcsin\frac{1{,}333}{1{,}500}\approx 62{,}71^\circ,
\] \[
r_{30}=\arcsin\frac{n_{30}}{n}=\arcsin\frac{1.350}{1.500}\approx 64.16^\circ,
\] \[
r_{60}=\arcsin\frac{n_{60}}{n}=\arcsin\frac{1.362}{1.500}\approx 65.23^\circ.
\]

Для 30%-ного раствора луч выходит вдоль оси. Поэтому для воды и для 60%-ного раствора углы падения на выходную грань равны отклонениям от этого осевого случая:
\[
\alpha_0=r_{30}-r_0 \approx 64.16^\circ-62.71^\circ=1.45^\circ
\] \[
\alpha_{60}=r_{60}-r_{30} \approx 65.23^\circ-64.16^\circ=1.07^\circ
\]
После выхода из призмы в воздух:
\[
\sin\theta_0=n\sin\alpha_0,
\qquad
\sin\theta_{60}=n\sin\alpha_{60}.
\]
Отсюда:
\[
\theta_0\approx \arcsin (1.500 \sin 1.45^\circ) \approx 2.18^\circ,
\] \[
\theta_{60}\approx \arcsin (1.500 \sin 1.07^\circ) \approx 1.61^\circ.
\]
Экран находится в фокальной плоскости собирающей линзы, поэтому расстояние от оптической оси до изображения границы равно $y=F\tan\theta$. Получаем
\[
y_0=F\tan\theta_0,
\qquad
y_{60}=F\tan\theta_{60}.
\]
При \(F=10\text{ см}=100\text{ мм}\):
\[
y_0\approx 100\tan 2{,}18^\circ \approx 3{,}80\text{ мм},
\] \[
y_{60}\approx 100\tan 1{,}61^\circ \approx 2{,}81\text{ мм}.
\]
Границы для воды и 60%-ного раствора лежат по разные стороны от оси, следовательно полная длина шкалы:
\[
d=y_0+y_{60}\approx 3.80+2.81=6.61\text{ мм}.
\]

3  ^?? Шкала рефрактометра должна иметь цену деления $1\%$. Будем считать, что человеческому глазу комфортно различать предметы на далеком расстоянии, если угловое расстояние между ними не менее $\varphi = 15'$ (15 угловых минут). Рассчитайте максимально возможное фокусное расстояние окуляра $F_{\max}$, при котором наблюдателю еще видно всю шкалу рефрактометра.

Весь диапазон шкалы соответствует изменению концентрации от 0% до 60%. Тогда при цене деления 1% расстояние между соседними делениями равно $\Delta x=\frac{d}{60}$.
Подставляя \(d=6{,}6\text{ мм}\), получаем:
\[
\Delta x=\frac{6{,}6}{60}\text{ мм}\approx 0.11\text{ мм}.
\]
Экран находится в фокальной плоскости окуляра, поэтому угловое расстояние между соседними штрихами при наблюдении через окуляр равно
\[
\delta\approx \frac{\Delta x}{F_{\text{ок}}}.
\]
По условию глаз комфортно различает объекты, если угловое расстояние между ними не меньше
\[
\varphi=15'=0.25^\circ \approx 0.25^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}\approx 4.36\cdot 10^{-3}.
\]

Максимально возможное фокусное расстояние окуляра получается из условия $\delta=\varphi$, то есть
\[
F_{\max}=\frac{\Delta x}{\varphi}=\frac{d}{60\varphi} \approx \frac{0{,}11\text{ мм}}{4{,}36\cdot10^{-3}}\approx 25{,}2\text{ мм}.
\]