| 1 Записаны импедансы катушки и конденсатора: \[Z_C = \frac{-i}{\omega C}\] \[Z_L = i\omega L\](Либо корректные выражения для напряжений на них) | 2 × 0.30 |
|
| 2 Выражены показания $RLC$-метра в режимах измерения ёмкости и индуктивности через $\omega$ и $Z$: \[L = \frac{|Z|}{\omega}\] \[C = \frac{1}{|Z|\omega}\](Либо иным корректным образом) | 2 × 0.20 |
|
| 3 Получено выражение: \[C_2 = C_1 \frac{L_1}{L_2}\] | 0.50 |
|
| 4 Получен численный ответ: \[C_2 \approx 0.83 \: мкФ\] | 0.50 |
|
| 1 Записаны выражения для импедансов последовательного и параллельного соединения: \[Z_1 = \left|\omega L - \frac{1}{\omega C}\right|\] \[Z_2 = \frac{L/C}{\left|\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right|}\](Либо корректные выражения для напряжений и для токов в подключенной схеме при последовательном и при параллельном соединении соответственно) | 2 × 0.50 |
|
| 2 Система сведена к корректному уравнению с одной неизвестной. | 0.50 |
|
| 3 Получено корректное квадратное (или биквадратное) уравнение относительно этой неизвестной. | 0.50 |
|
| 4 Определён правильный знак перед корнем из дискриминанта. | 0.20 |
|
| 5 Получены корректные выражения для $L$ и $C$: \[L = \frac{ \sqrt{L_1^2 + 4 L_1 L_2} \pm L_1 }{2}\]\[C = \frac{2 C_1 L_1}{\sqrt{L_1^2+ 4 L_1 L_2} \mp L_1}\] | 4 × 0.20 |
|
|
6
Получены численные значения для $L$ и $С$: \[L=15{,}0 мГн;\quad C =2{,}00 мкФ\] \[L=8{,}80 мГн;\quad C = 1{,}17 мкФ\] |
4 × 0.25 |
|
| 1 Записано выражение для импеданса неидеальной катушки: \[Z'_L = R + i\omega L\](Либо корректное выражение для напряжения на ней) | 0.30 |
|
|
2
Получено выражение для измеренной индуктивности: \[L_{exp} = \sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}}\] |
0.20 |
|
| 3 Написано корректное неравенство для погрешности определения $L$: \[L_{exp} < L(1+\delta)\] | 0.50 |
|
| 4 Получено неравенство для частоты $f$ (или для $\omega$): \[f > f_c = \frac{R}{2\pi L \sqrt{2\delta}}\] \[\left(\omega > \omega_c = \frac{R}{L\sqrt{2\delta}}\right)\] | 0.50 |
|
| 5 Определено численное значение критической частоты: \[f_c = 1780 \: Гц \] | 0.50 |
|
|
1
Записано выражение для импеданса $RLC$-цепи: \[Z = R + i \omega L - \frac{i}{\omega C}\](Либо корректное выражение для напряжения на ней) |
0.20 |
|
|
2
Получено выражение для показаний прибора: \[L_{exp} = \sqrt{\frac{R^2}{\omega^2} + \left(L - \frac{1}{\omega^2 C} \right)^2}\] |
0.20 |
|
|
3
Указано, что при низких частотах доминирующим слагаемым является импеданс конденсатора, то есть \[L_{exp} \xrightarrow{\omega \rightarrow 0} \dfrac{1}{\omega^2 C}\] |
0.30 |
|
|
4
Указано, что при высоких частотах доминирующим слагаемым является импеданс катушки, то есть \[L_{exp} \xrightarrow{\omega \rightarrow \infty} L\] |
0.30 |
|
| 5 Указано, что $L_{exp}$ может проходить через минимум при промежуточной (резонансной) частоте. | 0.20 |
|
| 6 M1 Получено корректное уравнение относительно частоты для определения $f_0$ (или $\omega_0$). | 0.40 |
|
|
7
M1
Получено выражение для резонансной частоты $f_0$ (или $\omega_0$): \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \dfrac{1}{\sqrt{1- \dfrac{R^2 C}{2L}}} = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC - \dfrac{(RC)^2}{2}}} \] \[\left( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC} \sqrt{1- R^2 C/2L}} = \dfrac{1}{\sqrt{LC - \dfrac{(RC)^2}{2}}} \right)\] |
0.50 |
|
|
8
M1
Получено выражение для минимального значения показаний прибора: \[ L_0 = \sqrt{R^2C\left(L - \frac{R^2 C}{4}\right)} \] |
0.30 |
|
|
9
M1
Определено численное значение $f_0$: \[ f_0 = 1593 Гц \] |
0.20 |
|
|
10
M2
Явно обосновано, что вследствие малости значения $R$, частоту $f_0$ (или $\omega_0$), соответствующую минимуму показаний прибора, можно считать без учёта неидеальности катушки: \[f_0 \approx \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\]\[\left(\omega_0 \approx \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\right)\] |
0.90 |
|
|
11
M2
Без корректного обоснования записано: \[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\]\[\left(\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\right)\] |
0.30 |
|
|
12
M2
Получено выражение для минимального значения показаний прибора: \[ L_0 = R \sqrt{LC} \] |
0.30 |
|
|
13
M2
Определено численное значение $f_0$: \[ f_0 = 1591 Гц \] |
0.20 |
|
|
14
Определено численное значение $L_0$: \[ L_0 = 0{,}50 мГн \] |
0.20 |
|
|
15
Построен качественный график зависимости $L_{exp}$ от $f$ (или от $\omega$):
|
3 × 0.40 |
|