1  ^?? Какое значение $C_2$ покажет $RLC$-метр в режиме измерения емкости во втором эксперименте? Получите формулу и численное значение.

Отношение измеренных амплитуд напряжения и тока равно модулю импеданса $|Z|$ устройства, подключенного выводам $RLC$-метра. Используя известные формулы для импедансов индуктивности $Z_L = i \omega L$ и емкости $Z_C = -i/\omega C$ (где $\omega$ — циклическая частота, на которой проводятся измерения) можно определить измеренные прибором значения индуктивности и емкости. Из формул для последовательного соединения импедансов получим в первом случае
\[\left|\omega L - \frac{1}{\omega C} \right| = \omega L_1 = \frac{1}{\omega C_1}. \tag{1}
\]
Во втором случае используем формулу для импеданса параллельного соединения \[
\frac{L/C}{\left|\omega L - \frac{1}{\omega C} \right|} = \omega L_2 = \frac{1}{\omega C_2}. \tag{2}
\]
Какое бы устройство не подключалось к выводам, показания прибора в режимах измерения индуктивности и емкости связаны соотношением $|Z|=\omega L_1 = 1/\omega C_1$, то есть $L_1C_1 = 1/\omega^2$. Таким образом $L_1 C_1 = L_2 C_2$, откуда
$$
C_2 = \frac{L_1 C_1}{L_2}.
$$

2  ^?? Чему равны индуктивность $L$ и емкость $C$ используемых Глюком катушки и конденсатора? Получите формулы и численные значения.

Знаменатель в уравнении $(2)$ для параллельного соединения совпадает с импедансом для последовательного соединения, поэтому
$$
\frac{L}{C \cdot \omega L_1} = \omega L_2.
$$Подставляя в это соотношение значение $\omega^2 = 1/L_1 C_1$, найдем
$$
\frac{L}{C} = \frac{L_2}{C_1}.
$$Выражая отсюда $C_1$ и подставляя в уравнение $(1)$, получим
$$
\left|L - \frac{1}{\omega^2 C} \right| = \left|L - \frac{L_1 L_2}{L} \right| = L_1.
$$Отсюда
$$
|L^2 - L_1 L_2| = L_1 L,
$$значит $L$ удовлетворяет одному из двух квадратных уравнений
$$
L^2 - L_1 L_2 = \pm L_1 L,
$$откуда
$$
L^2 \mp L_1 L - L_1 L_2 = 0.
$$Корни этих двух уравнений имеют вид$$
L = \frac{\pm L_1 \pm \sqrt{L_1^2 + 4 L_1 L_2}}{2},
$$где первый знак определяется знаком $\pm$ в уравнении, а второй — выбранным корнем квадратного уравнения. При этом индуктивность должна быть положительной, поэтому перед квадратным корнем всегда нужно выбирать знак $+$.
Итого получаем, что возможны два значения индуктивности
$$
L = \frac{ \sqrt{L_1^2 + 4 L_1 L_2} \pm L_1 }{2},
$$отвечающие двум разным способам раскрыть модуль.
Отвечающие им значения емкости можно найти как $$C = L \frac{C_1}{L_2} =\frac{C_1}{2 L_2} \left(\sqrt{L_1^2 + 4 L_1 L_2} \pm L_1 \right) =\frac{2 C_1 L_1}{\sqrt{L_1^2+ 4 L_1 L_2} \mp L_1}.$$

3  ^?? Пусть теперь измерения производятся для неидеальной катушки, индуктивность которой $L = 10{,}0~\text{мГн}$, а сопротивление $R = 5{,}0~\text{Ом}$. При каких значениях частоты $f$, на которой производятся измерения, связанная с сопротивлением погрешность определения индуктивности меньше $0{,}1~\%$? Считайте, что реальную катушку можно представить как последовательно соединенные идеальную катушку и резистор.

Комплексный импеданс неидеальной катушке равен
$$
Z'_L = R + i \omega L,
$$тогда измеренное значение индуктивности определяется из соотношения
$$
\omega L_{\text{exp}} = \sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}, \quad L_{\text{exp}} = \sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}}.
$$Видим, что это значение всегда больше значения индуктивности катушки, и в пределе больших частот стремится к ней. Тогда частота должна быть больше некоторой критической частоты, которую можно найти из условия, что $L_{\text{exp}} = L(1 +\delta)$, где $\delta$ – максимально допустимая погрешность:
$$
\sqrt{L^2 + \frac{R^2}{\omega^2}} < L(1 +\delta),
$$откуда с учетом малости $\delta$
$$
\frac{R^2}{\omega_c^2} = L^2 ((1+ \delta)^2 -1) \approx 2 \delta L^2.
$$Получаем критическое значение циклической частоты
$$
\omega_{\text{с}} = \frac{R}{L \sqrt{2 \delta}},
$$и критическое значение частоты
$$
f _{\text{с}}= \frac{R}{2 \pi L \sqrt{2 \delta}}.
$$

4  ^?? К катушке из предыдущего пункта Глюк последовательно присоединил конденсатор с емкостью $C = 1{,}00~\text{мкФ}$. Экспериментатор провел измерения индуктивности полученной цепи $RLC$-метром в максимально широком диапазоне частот. Постройте качественный график зависимости измеренных значений индуктивности от частоты. Укажите характерные точки и асимптотики зависимости индуктивности от частоты в пределе малых и больших частот.

Импеданс цепи равен $$
Z = R + i \omega L - \frac{i}{\omega C}.
$$Приравнивая его модуль к $\omega L_1$, найдем измеренную индуктивность $L_1$:
$$
\omega L_{\text{exp}} = \sqrt{R^2 +
\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2},
$$отсюда
$$
L_{\text{exp}} = \sqrt{\frac{R^2}{(2\pi f)^2} + \left(L - \frac{1}{(2\pi f)^2 C} \right)^2}.
$$Проанализируем полученное выражение. При больших частотах слагаемые с частотой в знаменателе стремятся к $0$, поэтому измеренное значение индуктивности стремится к постоянной $L_{\text{exp}} \approx L$. При малых частотах наибольшее значение у слагаемого с наибольшей степенью частоты в знаменателе, поэтому
$$
L_{\text{exp}} \approx \frac{1}{(2 \pi f)^2 C}.
$$Покажем, что у подкоренного выражения есть минимум при промежуточном значении частоты. Для удобства введем вспомогательную переменную $x = 1/(2\pi f)^2$ и рассмотрим функцию $$
f(x) = x R^2 + \left(L - \frac{x}{C}\right)^2.
$$Ее производная обращается в 0 при $$
R^2 + \frac{2}{C} \left(\frac{x}{C} - L \right) = 0,
$$откуда $$
x = LC - \frac{R^2 C^2}{2} = LC \left(1 - \frac{R^2 C}{2L} \right).
$$Этому значению $x$ отвечает значение частоты
$$
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC} \sqrt{1- R^2 C/2L}},
$$которое существует при $R^2 C/2L < 1$. Это значение отвечает минимуму рассматриваемой функции, поскольку она представляет собой квадратичную зависимость с положительным коэффициентом перед $x^2$. Соответствующее значение индуктивности в минимуме
$$
L_0 = R \sqrt{C L - \frac{R^2 C^2}{4}}.
$$Для чисел, приведенных в условии:
$$
f_0 = 1573 ~\text{кГц}, \quad L_0 = 0{,} 50 ~\text{мГн},
$$что, впрочем, слабо отличается от значения собственной частоты для случая, если бы катушка была идеальной:
\[\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = 1571~кГц \approx f_0.\]Малость различия между этими частотами объясняется высокой добротностью $RLC$-цепи
\[Q = \dfrac{1}{R} \sqrt{\dfrac{L}{C}} = 20 \gg 1.\]