A1  ^2.50 Найдите радиус орбиты $R_J$ Юпитера. Найдите отношение массы Юпитера $M_J$ к массе Солнца $M_S$.

Запишем III закон Кеплера для Юпитера и Земли:
\[\left(\frac{R_J}{R_E}\right)^3 = \left(\frac{T_J}{T_E} \right)^2 \quad \Rightarrow \quad R_J = R_E \left( \frac{T_J}{T_E} \right)^{2/3}=778.0\cdot 10^6~\text{km}\]Теперь запишем II закон Ньютона $\omega^2 R = GM/R^2$ для Земли и для Ио:
\[ \frac{4 \pi^2}{T_E^2} = \frac{GM_S}{R_E^3}, \quad \frac{4 \pi^2}{T_0^2} = \frac{GM_J}{R_M^3} \quad \Rightarrow \quad \frac{M_J}{M_S} = \frac{R_M^3}{R_E^3} \frac{T_E^2}{T_0^2} = 9.54 \cdot 10^{-4}\]

A2  ^1.00 Спутник $M$, вращаясь вокруг Юпитера, периодически входит и выходит из его тени. Выразите период $T_\text{real}$ между последовательными выходами спутника из тени Юпитера через $T_J$ и $T_0$.

За время $T_\text{real}$ Юпитер поворачивается по своей орбите на малый угол $2 \pi T_\text{real}/T_J$. При этом за время $T_\text{real}$ спутник должен повернуться на $2\pi$ плюс этот малый угол, т.е.
\[ 2 \pi \frac{T_\text{real}}{T_0} = 2\pi + 2 \pi \frac{T_\text{real}}{T_J}\]

A3  ^1.50 Перейдите в новую систему отсчёта ($SJ$), в которой Юпитер покоится относительно Солнца. Определите относительную угловую скорость $\omega$ Земли в системе отсчёта $SJ$. Вычислите скорость Земли в системе отсчета $SJ$.

Угловая скорость системы отсчета $\omega_{SJ} = 2 \pi / T_J$. Поэтому угловая скорость Земли
\[ \omega = 2 \pi / T_E - \omega_{SJ} = 2\pi \left( \frac{1}{T_E} - \frac{1}{T_J} \right) = 2\pi \frac{T_J T_E}{T_J-T_E}\]При этом скорость Земли $v_E = R_E \omega$

A4  ^1.50 Выведите расстояние от Юпитера до Земли $d$ как функцию времени, и упростите его с помощью приближений.

Из геометрии
\[d^2 = R_E^2 \sin^2 \theta + (R_J - R_E \cos \theta)^2 = R_J^2 + R_E^2 - 2 R_J R_E \cos \theta \]\[ d = R_J \left( 1 - \frac{R_E}{R_J} \cos \theta \right)\]

A5  ^2.50 Получите период $T_\text{obs}$ как функцию времени $t$. Постройте качественный график $T_\text{obs}$ как функции времени $t$. Найдите положения Земли, при которых наблюдались максимальный период, минимальный период и истинный период обращения спутника $M$.

Время, насколько запаздывает свет от выхода из затмения равно $d/c$, поэтому для определения $T_\text{obs}$ нужно понять, насколько поменялось $d$ за период обращения:
\[T_\text{obs} = T_0 + \frac{\dot{d} T_0}{c} = T_0 \left(1 + \frac{\omega R_E}{c} \sin \omega t \right)\]

A6  ^1.00 Оцените скорость света по предоставленным данным.

Исходя из зависимости
\[ \Delta T = 2 T_0 \frac{\omega R_E}{c}, \quad c = 2 \omega R_E \frac{T_0}{\Delta T} \]