Pho.rs: Затмение спутника Юпитера

Затмение спутника Юпитера

Разбалловка

A00

English

0.0

Сумма баллов

A1 ^2.50 Найдите радиус орбиты $R_J$ Юпитера. Найдите отношение массы Юпитера $M_J$ к массе Солнца $M_S$.

1 Записан III закон Кеплера для Юпитера и Земли	0.40
2 Получено выражение \[ R_J = R_E \left( \frac{T_J}{T_E} \right)^{2/3}\]	0.40
3 Получен ответ \[R_J = 778 \cdot 10^6~\text{km}\]	0.40
4 Записан III закон Кеплера в общей форме или II закон Ньютона для движения по окружности	0.50
5 Получено выражение \[ \frac{M_J}{M_S} = \frac{R_M^3}{R_E^3} \frac{T_E^2}{T_0^2} \]или аналогичное	0.40
6 Получен ответ \[ \frac{M_J}{M_S} = 9.54 \cdot 10^{-4} \]	0.40

A2 ^1.00 Спутник $M$, вращаясь вокруг Юпитера, периодически входит и выходит из его тени. Выразите период $T_\text{real}$ между последовательными выходами спутника из тени Юпитера через $T_J$ и $T_0$.

1 Правильно описывается геометрия системы: сумма углов или разность угловых скоростей	0.50
2 \[T_\text{real} = \frac{T_J T_0}{T_J-T_0}\]	0.50

A3 ^1.50 Перейдите в новую систему отсчёта ($SJ$), в которой Юпитер покоится относительно Солнца. Определите относительную угловую скорость $\omega$ Земли в системе отсчёта $SJ$. Вычислите скорость Земли в системе отсчета $SJ$.

1 Найдена угловая скорость системы отсчета \[\omega_{SJ} = \frac{2 \pi }{T_J}\]	0.20
2 Записано \[ \omega = \frac{2\pi}{T_E} - \omega_{SJ}\]	0.50
3 Получено \[\omega = 2 \pi \frac{T_J-T_E}{T_J T_E}\]	0.50
4 Записано \[ v = R_E \omega\]	0.30

A4 ^1.50 Выведите расстояние от Юпитера до Земли $d$ как функцию времени, и упростите его с помощью приближений.

1 Используется теорема Пифагора	0.30
2 Записано выражение \[d^2 = R_E^2 \sin^2 \theta + (R_J - R_E \cos \theta)^2\]	0.40
3 После приближений получено, что \[d = R_J - R_E \cos \theta \]	0.40
4 Получен ответ \[d = R_J - R_E \cos \omega t\]	0.40

A6 ^1.00 Оцените скорость света по предоставленным данным.

1 \[T_\text{obs,max}-T_\text{obs,min} = \frac{2 \omega R_E}{c} T_\text{real}\]	0.50
2 \[c = 3.03 \cdot 10^8~\text{m}/\text{s}\]	0.50

1 Предложена идея, что изменение наблюдаемого периода связано с изменением $d$ за один оборот, например: \[T_\text{obs} = T_\text{real} + \frac{\Delta d}{c},\]где $\Delta d$ - изменение $d$ за время $T_\text{real}$	0.80
2 Вычислено \[\dot{d} = \omega R_E \sin \omega t\]	0.20
3 Получено \[ T_\text{obs} = T_\text{real} + T_\text{real} \frac{\omega R_E}{c} \sin \omega t\]	0.30
4 Построен график периодической функции колеблющейся вокруг $T_\text{real}$	0.20
5 Построенный график является синусом	0.20
6 Указано, что экстремумам $T_\text{obs}$ соответствует $\theta \approx \pm \pi/2$	0.20
7 Максимуму $T_\text{obs}$ соответствует $\theta = \pi/2$	0.10
8 Минимуму $T_\text{obs}$ соответствует $\theta = -\pi/2$	0.10
9 Истинный период наблюдается при $\theta=0$	0.20
10 Истинный период наблюдается при $\theta=\pi$	0.20