Так как оба конца трубки открыты в атмосферу, атмосферное давление можно не учитывать.
Условие равновесия поршня в начальном положении: $$\rho_1 gh_1 S=\rho_2 gh_2 S;$$ где $h_1$ и $h_2$ — высота столба жидкости выше центра поршня в левой и правой частях соответственно.
При добавлении жидкости плотностью $\rho_1$ в левый сосуд поршень сместится на расстояние $x$ вправо, и на него начнёт действовать сила упругости. Условие равновесия поршня после добавления некоторого количества жидкости:
$$\rho_1 gH_1 S=\rho_2 gH_2 S+kx.$$ После перемещении поршня на расстояние $x$, уровень жидкости в правой части тоже увеличится на $x$:
$$\rho_1 g(h_1+y)S=\rho_2 g(h_2+x)S+kx.$$ Где $y$ — высота, на которую увеличился уровень жидкости в левом сосуде. Для того чтобы разность высот $\Delta h$ оставалась постоянной, $y$ должно равняться $x$. Тогда:
Условие равновесия поршня после добавления в левую часть объёма $\Delta V$ жидкости плотностью $\rho_2$:
$$\rho_1 g(h_1-x)S+\rho_2 gzS=\rho_2 g(h_2+x)S+kx.$$ Чтобы верхние границы жидкостей совпадали, высота $z$ добавленной в левое колено жидкости плотностью $\rho_2$ должна быть равна: $z=\Delta h+2x$.
Тогда, с учётом найденного коэффициента жёсткости пружины $k=(\rho_1-\rho_2)gS:$
$$x=\frac{\rho_2 \Delta h}{2(\rho_1-\rho_2)}.$$
Убедимся, что при перемещении поршня на расстояние $x$ в левой вертикальной части трубки останется жидкость плотностью $\rho_1$. Условие равновесия поршня в начальный момент: $$\rho_1 gh_1 S=\rho_2 g(h_1+\Delta h) S \Rightarrow h_1=\frac{\rho_2 \Delta h}{\rho_1-\rho_2} \Rightarrow h_1>x.$$Объём добавленной жидкости может быть найден по формуле: $\Delta V=S(\Delta h+2x)$.
Подставив в это выражение значение $x$, найдём $\Delta V$: