A1  ^0.50 Какова амплитуда напряжения на конденсаторе?

Какова амплитуда тока, затекающего на одну обкладку конденсатора и стекающего с противоположной?

\[U(t)=\frac{q(t)}{C}=\frac{q_0}{C}\cos\left(2\pi ft\right),\]поэтому амплитуда напряжения $U_0={q_0}/{C}$.
\[I(t)=\dot{q}(t)=-q_02\pi f\sin\left(2\pi ft\right),\]поэтому амплитуда тока:

A2  ^1.00 Опишите теоретически, как зависит $Z$ для схемы на рис. 1 от частоты при малых частотах $(f \to 0)$ и как – при больших частотах $(f \to\infty)$.

B1  ^3.00 Определите ёмкость $C$ осциллографа с подсоединенным щупом.

Соберем схему, показанную на рисунке 3. Один щуп осциллографа подключим напрямую к генератору для измерения напряжения на нем, другой щуп – последовательно с выданным резистором. При больших частотах второй канал осциллографа эквивалентен конденсатору емкостью $C$. Предположим, что уже при $f\sim 1~МГц$ выполняется $Z \approx Z_C$. Пусть напряжение на конденсаторе меняется по закону: $$U_2=\frac{q_0}{C}\cos\left(2\pi ft\right)=\frac{I_0}{2\pi fC}\cos\left(2\pi ft\right)\tag{1}.$$ Тогда для амплитуды напряжения на втором канале осциллографа имеем: $$I_{20}=I_0\cdot\frac{1}{2\pi fC}\tag{2},$$ Ток в цепи же в цепи конденсатора и $C$ и резистора $r$ меняется по закону: $$I(t)=\dot{q}(t)=-q_02\pi f\sin\left(2\pi ft\right)=-I_0\sin\left(2\pi ft\right)\tag{3}.$$ Тогда напряжение на резисторе $r$: $$U_r(t)=I(t)r=-I_0\sin\left(2\pi ft\right)\tag{4}.$$ Напряжение на первом канале осциллографа складывается из напряжений на конденсаторе $C$ и сопротивлении $r$. $$U_1(t)=U_r+U_2=I(t)r=-I_0r\sin\left(2\pi ft\right)+\frac{I_0}{2\pi fC}\cos\left(2\pi ft\right)\tag{5}.$$ Введем дополнительный угол: $$\phi=\operatorname{arctan}\frac{1}{2\pi fCr}.\tag{6}$$ Тогда для напряжения на первом канале осциллографа получаем: $$U_1(t)=I_0\sqrt{r^2+\left(\frac{1}{2\pi fC}\right)}\cos\left(2\pi ft+\phi\right).\tag{7}$$ И для амплитуды этого напряжения: $$U_10=I_0\sqrt{r^2+\left(\frac{1}{2\pi fC}\right)^2}.\tag{8}$$ Окончательно отношение амплитуд на первом и втором каналах осциллографа: $$\frac{U_{10}}{U_{20}}=\sqrt{1+\left(2\pi fCr\right)^2},\tag{9}$$ где $f$ – частота сигнала генератора.

Измерим зависимость напряжений на двух каналах осциллографа от частоты сигнала. Построим график зависимости квадрата отношения амплитуд этих напряжений
$\left(\dfrac{U_1}{U_2}\right)^2$ от квадрата частоты сигнала $f^2$.

$U_{10},~В$	3.00	3.00	3.00	3.00	3.00	3.00	3.00	3.00	3.00	3.00
$U_{20},~В$	2.72	2.12	1.70	1.32	1.11	0.97	0.85	0.74	0.65	0.58
$f,~МГц$	0.50	1.00	1.50	2.00	2.50	3.00	3.50	4.00	4.50	5.00
$f^2,~МГц^2$	0.25	1.00	2.25	4.00	6.25	9.00	12.25	16.00	20.25	25.00
$\left(\dfrac{U_1}{U_2}\right)^2$	1.22	2.00	3.11	5.17	7.30	9.66	12.46	16.44	21.30	26.75

Видно, что экспериментальные точки отлично описываются линейной функцией, т.е. предположение $Z_C \ll Z_R$ на этих частотах выполняется. Угловой коэффициент графика данной зависимости составляет $$k =\left(2\pi Cr\right)^2 = 1.01 \cdot 10^{-12}~ с^2.\tag{10}$$ Откуда емкость осциллографа $$C =\frac{\sqrt{k}}{2\pi r}=145~пФ. \tag{11}$$

B2  ^2.00 Определите сопротивление $R$ осциллографа с подсоединенным щупом.

Для определения сопротивления осциллографа соберем схему, изображенную на рисунке 4.

При отключении осциллографа от батареи емкость осциллографа будет разряжаться через его внутреннее сопротивление. С помощью однократного срабатывания синхронизации запишем осциллограмму разрядки емкости. Используя курсоры и смещение осциллограммы, измерим зависимость напряжения на осциллографе от времени.

$U,~В$	9.60	7.60	5.60	4.72	3.60	2.48	1.60	1.20
$t,~мкс$	0	36	84	100	148	200	252	300
$\ln(U/В)$	2.26	2.03	1.72	1.55	1.28	0.91	0.47	0.18

Напряжения на конденсаторе должно убывать по экспоненциальному закону:\[\ln U =\ln U_0-{t}/{RC}\tag{12}\]где $U_0$ – начальное напряжение на осциллографе. Построим график зависимости $\ln U$ от $t$. По угловому коэффициенту графика $k_1 = 7.0\cdot103~с^{−1}$ найдем сопротивление осциллографа$$R =\frac{1}{k_1C}=1.03~МОм.\tag{13} $$

C1  ^1.00 Определите внутреннее сопротивление $R_0$ генератора.

Метод: цепляем $10~$Ом последовательно генератору. На генераторе тип сигнала DC, смотрим падение напряжения на $10~$Ом и сравниваем с выставленным напряжением.

C2  ^2.50 Определите внутреннюю ёмкость $C_0$ генератора.

Метод: такой же, как и в B1, цепляем осциллограф напрямую к генератору. Вместо $r$ внутреннее сопротивление генератора, вместо $C$ суммарная ёмкость $C+C_0$.