Logo
Logo

Физика весов

Задачи
Корзина недоступна
Чтобы пользоваться корзиной для создания наборов задач, авторизуйтесь.

Разбалловка

A26
0.0
Сумма баллов
A1  0.30 Пусть перекладина отклонена от горизонтали на угол $\theta$ против часовой стрелки. Найдите момент силы относительно $O$, создаваемый левой чашей и ее содержимым. Положительное направление момента — против часовой стрелки.

1 Получен правильный ответ: $$\tau_1 = m_1g (l \cos\theta - b \sin\theta).$$

Примечание: ошибка в знаке не влияет на получаемые баллы

 0.30
A2  0.30 Пусть перекладина отклонена от горизонтали на угол $\theta$ против часовой стрелки. Найдите момент силы относительно $O$, создаваемый правой чашей и ее содержимым. Положительное направление момента — по часовой стрелке.

1 Получен правильный ответ: $$\tau_2 = m_2g (l \cos\theta + b \sin\theta).$$

Примечание: ошибка в знаке не влияет на получаемые баллы

 0.30
A3  0.40 Выразите угол наклона перекладины $\theta_0$ в состоянии равновесия через данные в условии величины.

1 Записано правило моментов:
$$m_2g (l \cos\theta + b \sin\theta) = m_1g (l \cos\theta - b \sin\theta).$$ 		0.20
2 Получено выражение для угла или его тангенса:
$$\tan(\theta_0) = \frac{(m_1-m_2)l}{(m_1+m_2)b}$$$$\theta_0 = \arctan\left(\frac{(m_1-m_2)l}{(m_1+m_2)b}\right)$$ 		0.20
A4  0.30

Выберите, при каком выборе $b$ и $l$ весы будут наиболее чувствительными (неправильный выбор — штраф 0.1 балла):

  1. Большее $l$ и большее $b$ приводит к большему $|\theta_0 |$
  2. Меньшее $l$ и меньшее $b$ приводит к большему $|\theta_0|$
  3. Большее $l$ и меньшее $b$ приводит к большему $|\theta_0|$
  4. Меньшее $l$ и большее $b$ приводит к большему $|\theta_0|$

1 Выбран правильный ответ: 3. 0.30
2 Выбран неверный ответ. -0.10
A5  0.80 Перекладина отклоняется от горизонтали на угол $\theta_1~ (< \pi/2)$, достигая равновесия. Выразите $\theta_1$ через заданные величины.

1 Выражение для момента сил, вращающих против часовой стрелки:
$$m_1g (l \cos\theta - b \sin\theta)+Mgd\sin\theta.$$
Примечание: ошибка в знаке не влияет на получаемые баллы 		0.30
2 Записано правильно моментов:
$$m_2g (l \cos\theta + b \sin\theta) = m_1g (l \cos\theta - b \sin\theta)+Mgd\sin\theta.$$ 		0.30
3 Получен финальный ответ на угол или его тангенс:
$$\tan(\theta_0) = \frac{(m_1-m_2)l}{(m_1+m_2)b-Md}$$$$\theta_0 = \arctan\left(\frac{(m_1-m_2)l}{(m_1+m_2)b-Md}\right)$$ 		0.20
A6  0.40 Найдите условие, при котором перекладина достигает конечного устойчивого положения при $\theta_1 < \pi/2 $. Запишите это условие в виде неравенства, не содержащего $\theta_1$.

1 Записано условие ускоренного вращения против часовой стрелки:
$$m_2g (l \cos\theta + b \sin\theta) < m_1g (l \cos\theta - b \sin\theta)+Mgd\sin\theta.$$ 		0.20
2 Получен ответ:
$$Md - m_1b < m_2b.$$ 		0.20
B1  0.30 Рассчитайте полную потенциальную энергию системы $U(\theta)$, когда перекладина отклонена против часовой стрелки на угол $\theta$ от горизонтали ($m_L \ge m_R$). Примите потенциальную энергию $U$ равной нулю в начальном горизонтальном положении.

1 Получен правильный ответ:
$$U = (m_R-m_L)gl\sin\theta.$$ 		0.30
2 Ответ отличается на константу. 0.20
B2  0.50 Выразите полную кинетическую энергию системы через заданные величины и угловую скорость $\dot{\theta}$.

1 Кинетическая энергия перекладин:
$$\frac{(I_1+I_2)\dot\theta^2}{2}$$ 		0.20
2 Кинетическая энергия чаш и грузов:
$$\frac{(2m+m_L+m_R)l^2\dot\theta^2}{2}$$ 		0.30
3 Получен ответ:
$$K = \frac{(I_1+I_2)\dot\theta^2}{2}+\frac{(2m+m_L+m_R)l^2\dot\theta^2}{2}.$$ 		0.00
B3  0.60 Получите дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее изменение угла поворота $\theta$.

1 Записан закон сохранения энергии:
$$\frac{(I_1+I_2)\dot\theta^2}{2}+\frac{(2m+m_L+m_R)l^2\dot\theta^2}{2}+(m_R-m_L)gl\sin\theta=C.$$ 		0.20
2 Используется идея дифференцирования энергии по времени. 0.20
3 Получен ответ:
$$\left(I_1+I_2 + (2m+m_R+m_L)l^2\right)\ddot\theta = (m_L-m_R)gl\cos\theta.$$ 		0.20
B4  1.00 Рассмотрим начальный момент времени, когда систему только отпустили, но она ещё не начала двигаться. Обозначим $T_{L1}$, $T_{L2}$ — вертикальные проекции сил, действующих между левой чашей и верхней и нижней перекладинами соответственно. Аналогично, пусть $T_{R1}$, $T_{R2}$ — вертикальные проекции сил для правой чаши. Выразите $(T_{L2} + T_{R1})$ через данные в условии величины.

1 Записан второй закон Ньютона для левой чаши:
$$(m+m_L)g - (T_{L1}+T_{L2}) = (m+m_L)l\ddot\theta$$ 		0.20
2 Подставлено выражение для углового ускорения:
$$T_{L1}+T_{L2} = (m+m_L)g - \frac{(m+m_L)l^2(m_L-m_R)g}{I_1+I_2+(m_L+m_R+2m)l^2}.$$ 		0.20
3 Записан закон изменения момента импульса для верхней перекладины:
$$(T_{L1}-T_{R1})l = I_1\ddot\theta$$ 		0.20
4 Подставлено угловое ускорение:
$$T_{L1}-T_{R1} = \frac{I_1(m_L-m_R)g}{I_1+I_2+(m_L+m_R+2m)l^2}.$$ 		0.20
5 Получен итоговый ответ:
$$T_{L2}+T_{R1} = \frac{(m+m_L)\left(I_1+I_2+l^2(2m+2m_R)\right)g}{I_1+I_2+(m_L+m_R+2m)l^2}-\frac{I_1(m_L-m_R)g}{I_1+I_2+(m_L+m_R+2m)l^2}.$$ 		0.20
B5  0.60 Предположим, что все компоненты весов, включая перекладины и чаши, — абсолютно твёрдые тела. Определите, можно ли найти величины каждой из приведённых ниже сил в момент отпускания:
  1. $T_{R1}$
  2. Вертикальная составляющая силы, действующей со стороны опоры $O$ на верхнюю балку

(Отвечайте «Да», «Нет» или оставляйте поле пустым для каждого варианта. За каждый неправильный ответ снимается 0.1 балла.)

Составьте все необходимые уравнения, которые могут требоваться для решения этого пункта. Обратите внимание, что от вас требуется только записать уравнения, а решать полученную систему не нужно.

1 Верно отмечены ответы: "Нет" и "Нет" 2 × 0.10
2 Ответы отмечены неверно 2 × -0.10
3 Записаны уравнения:
$$T_{L1}-T_{R1} = A;$$$$T_{L2}-T_{R2} = B;$$$$T_{L1}+T_{L2} = C;$$$$T_{R1}+T_{R2} = D.$$ 		4 × 0.10
B6  0.60 Пусть $M_T$ — масса весов без грузов. Грузы массой $m_L$ и $m_R$ ($m_L > m_R$) помещаются на левую и правую чаши соответственно. Весы отпускают из горизонтального положения из состояния покоя. Найдите силу нормальной реакции $N$, с которой пол воздействует на весы сразу после отпускания.

1 Записано уравнения движения центра масс:
$$N-(M_T+m_L+m_R)g = (m_R - m_L)l\ddot\theta.$$ 		0.40
2 Получен итоговый ответ:
$$N = (M_T+m_L+m_R)g-\frac{(m_L-m_R)^2gl^2}{I_1+I_2+(m_L+m_R+2m)l^2}.$$ 		0.20
C1  1.40 Пусть на чаши весов поместили два груза разных масс $m_1 > m_2$. Весы отпускают из горизонтального положения из состояния покоя. Уравнение движения второго порядка для угла наклона перекладины $\theta$ при этом имеет вид:
$$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta.$$ Выразите коэффициенты $A$, $B$ и $C$ через данные в условии величины. Считайте, что $\theta = 0$ в горизонтальном положении.

1 Закон сохранения энергии (кинетическая энергии и два слагаемых для потенциальной):
$$\frac{(I_1+I_2)\dot\theta^2}{2}+\frac{(m_1+m_2)l^2\dot\theta^2}{2}+(m_2-m_1)gl\sin\theta+Mgd(1-\cos\theta) = C.$$ 		3 × 0.20
2 Используется идея дифференцирования энергии по времени. 0.10
3 Получены финальные ответы с точностью до общего множителя:
$$A = I_1+I_2+(m_1+m_2)l^2;$$$$B = (m_1-m_2)gl;$$$$C = -Mgd.$$ 		3 × 0.20
4 Все ответы получены правильно. 0.10
C2  1.90 Когда весы находятся в состоянии равновесия ($\theta = \theta_0$), малое отклонение вызывает колебания системы. Для анализа этих малых колебаний введем новую переменную $\eta = \theta - \theta_0$. Используя уравнение, полученное в пункте C1, получите приближённое уравнение для $\eta$. Выразите ответ через величины, данные в условии. В ответ не должен входить $\theta_0$.

1 Уравнение для поиска $\theta_0$:
$$(m_1-m_2)gl\cos\theta_0 - Mgd\sin\theta_0 = 0$$ 		0.20
2 Правильно найдены синус и косинус $\theta_0$:
$$\sin\theta_0 = \frac{(m_1-m_2)l}{\sqrt{(m_1-m_2)^2l^2+M^2d^2}};$$$$\cos\theta_0 = \frac{Md}{\sqrt{(m_1-m_2)^2l^2+M^2d^2}}.$$ 		2 × 0.20
3 Записано уравнение на $\eta$:
$$A\ddot\eta = (C\cos\theta_0 - B\sin\theta_0)\eta+B\cos\theta_0+C\sin\theta_0$$ 		0.50
4 Записано уравнение без учёта малости $\eta$. 0.30
5 Подставлено значение $\theta_0$:
$$B\cos\theta_0+C\sin\theta_0 = 0;$$$$-B\sin\theta_0+C\cos\theta_0 = -g\sqrt{(m_1-m_2)^2l^2+M^2d^2}.$$ 		2 × 0.30
6 Получен итоговый ответ в одном из видов:
$$A\ddot\eta = -\sqrt{B^2+C^2}\eta$$или
$$\left(I_1+I_2+(m_1+m_2)l^2\right) \ddot\eta = -g\sqrt{(m_1-m_2)^2l^2+M^2d^2}\cdot\eta.$$ 		0.20
C3  0.60 Пусть общая масса $m_1 + m_2$ — фиксированная величина. Определите, как следует распределить массу между чашами, чтобы период малых колебаний был максимален при постоянной общей массе. Рассчитайте период малых колебаний в пределе, когда $m_1 = m_2 = 0$.

1 Правильное выражение для периода:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_1+I_2+(m_1+m_2)l^2}{g\sqrt{(m_1-m_2)^2l^2+M^2d^2}}}$$ 		0.20
2 Правильное распределение масс:
$$m_1=m_2.$$ 		0.20
3 Правильный ответ:
$$T=2\pi\sqrt{\frac{I_1+I_2}{Mgd}}.$$ 		0.20