В повседневной жизни используются различные весы для измерения массы предметов. В данной задаче рассматриваются физические принципы, лежащие в основе рычажных весов и весов Роберваля. Хотя эти весы и выглядят схоже, но они имеют различные конструкции и ведут себя по-разному.

Считайте, что небольшое трение в точках опоры позволяет весам в конечном итоге прийти в состояние покоя. Однако это трение достаточно мало, чтобы не влиять на равновесный угол, определяемый по балансу моментов. Поэтому трение и сопротивление воздуха можно не учитывать в расчетах.

Часть A. Чувствительность рычажных весов (2.5 балла)

Рычажные весы состоят из перекладины (рычага), вращающегося вокруг неподвижной оси (опоры), и двух чаш одинаковой массы, подвешенных по обеим сторонам рычага. Если массы, помещенные на чаши, различаются, рычаг наклоняется в сторону более тяжелой чаши, чтобы достичь равновесия.

Во время движения перекладины подвешенные чаши могут раскачиваться и оказывать на перекладину переменную силу. Тем не менее, при расчётах считайте эту силу постоянной и равной общему весу чаши и содержимого, пренебрегая фактом колебаний.

Если перекладина наклоняется на большой угол даже при небольшой разнице масс, весы считаются чувствительными. В части A рассматривается вопрос чувствительности.

Считайте, что перекладина — плоская пластина пренебрежимо малой толщины. Пусть $O$ — точка опоры, а $L$ и $R$ — точки, в которых подвешены левая и правая чаши соответственно. Центр масс перекладины совпадает с точкой $O$, как показано на рис. 2. Ось вращения проходит через $O$ и перпендикулярна перекладине. Физические величины, которые могут влиять на баланс перекладины и чувствительность весов, приведены ниже:

• $b$ — расстояние между $O$ и прямой, соединяющей $L$ и $R$;
  
• $l$ — расстояние от проходящего через $O$ серединного перпендикуляра до точек $L$ и $R$;
  
• $g$ — ускорение свободного падения;
  
• $M$ — масса перекладины;
  
• $m_1$ — общая масса левой чаши и её содержимого;
  
• $m_2$ — общая масса правой чаши и её содержимого.
  

Когда $m_1 > m_2$, перекладина наклоняется против часовой стрелки на угол $\theta_0$, достигая равновесия.

A1  ^0.30 Пусть перекладина отклонена от горизонтали на угол $\theta$ против часовой стрелки. Найдите момент силы относительно $O$, создаваемый левой чашей и ее содержимым. Положительное направление момента — против часовой стрелки.

A2  ^0.30 Пусть перекладина отклонена от горизонтали на угол $\theta$ против часовой стрелки. Найдите момент силы относительно $O$, создаваемый правой чашей и ее содержимым. Положительное направление момента — по часовой стрелке.

A3  ^0.40 Выразите угол наклона перекладины $\theta_0$ в состоянии равновесия через данные в условии величины.

A4  ^0.30

Выберите, при каком выборе $b$ и $l$ весы будут наиболее чувствительными (неправильный выбор — штраф 0.1 балла):

1. Большее $l$ и большее $b$ приводит к большему $|\theta_0 |$
2. Меньшее $l$ и меньшее $b$ приводит к большему $|\theta_0|$
3. Большее $l$ и меньшее $b$ приводит к большему $|\theta_0|$
4. Меньшее $l$ и большее $b$ приводит к большему $|\theta_0|$

Чтобы сделать весы более чувствительными, можно изменить конструкцию перекладины. Пусть её ось вращения ($O$) находится ниже её центра масс (CM) на расстоянии $d$ (см. рис. 3). Считайте, что перекладина представляет собой пластину пренебрежимо малой толщины. Значения $M$, $L$, $R$, $b$, $l$, $m_1$, $m_2$, $g$ у весов такие же, как и в предыдущих пунктах.

A5  ^0.80 Перекладина отклоняется от горизонтали на угол $\theta_1~ (< \pi/2)$, достигая равновесия. Выразите $\theta_1$ через заданные величины.

A6  ^0.40 Найдите условие, при котором перекладина достигает конечного устойчивого положения при $\theta_1 < \pi/2 $. Запишите это условие в виде неравенства, не содержащего $\theta_1$.

Часть B. Простая модель весов Роберваля (3.6 баллов)

В весах Роберваля используется механизм параллелограмма, в котором «чаши» соединены с двумя горизонтальными перекладинами (верхней и нижней) с помощью шарниров. Такое соединение позволяет каждой «чаше» (состоящей из вертикального стержня и полок для грузов) оставаться в вертикальном положении даже при наклоне перекладин (рис. 4). При повороте перекладин чаши движутся синхронно. Уникальной особенностью этой конструкции является то, что положение равновесия весов зависит только от общей массы на каждой стороне, но не зависит от конкретного положения грузов на чашах. Физические величины и обозначения, которые могут быть полезны, приведены ниже (рис. 5):

• $O$, $O'$ — неподвижные опоры для двух горизонтальных балок
  
• $ I_1$ — момент инерции верхней перекладины вокруг оси вращения
  
• $I_2$ — момент инерции нижней перекладины вокруг оси вращения
  
• $l$ — расстояние от центральной оси до точки крепления чаши
  
• $x_L$, $x_R$ — горизонтальное смещение грузов относительно центра левой и правой чаш соответственно
  
• $m$ — масса каждой чаши
  
• $m_L$, $m_R$ — масса грузов, помещенных на левую и правую чаши соответственно ($m_L \ge m_R$)
  
• $g$ — ускорение свободного падения.
  

Предположим, что центр масс (CM) каждой перекладины совпадает с её осью вращения и что шарниры чаш и опора перекладины лежат на одной прямой.

B1  ^0.30 Рассчитайте полную потенциальную энергию системы $U(\theta)$, когда перекладина отклонена против часовой стрелки на угол $\theta$ от горизонтали ($m_L \ge m_R$). Примите потенциальную энергию $U$ равной нулю в начальном горизонтальном положении.

B2  ^0.50 Выразите полную кинетическую энергию системы через заданные величины и угловую скорость $\dot{\theta}$.

B3  ^0.60 Получите дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее изменение угла поворота $\theta$.

Угловое ускорение $\ddot{\theta}$ в момент отпускания весов из горизонтального положения составляет:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 Рассмотрим начальный момент времени, когда систему только отпустили, но она ещё не начала двигаться. Обозначим $T_{L1}$, $T_{L2}$ — вертикальные проекции сил, действующих между левой чашей и верхней и нижней перекладинами соответственно. Аналогично, пусть $T_{R1}$, $T_{R2}$ — вертикальные проекции сил для правой чаши. Выразите $(T_{L2} + T_{R1})$ через данные в условии величины.

B5  ^0.60 Предположим, что все компоненты весов, включая перекладины и чаши, — абсолютно твёрдые тела. Определите, можно ли найти величины каждой из приведённых ниже сил в момент отпускания:

1. $T_{R1}$
   
2. Вертикальная составляющая силы, действующей со стороны опоры $O$ на верхнюю балку
   

(Отвечайте «Да», «Нет» или оставляйте поле пустым для каждого варианта. За каждый неправильный ответ снимается 0.1 балла.)

Составьте все необходимые уравнения, которые могут требоваться для решения этого пункта. Обратите внимание, что от вас требуется только записать уравнения, а решать полученную систему не нужно.

B6  ^0.60 Пусть $M_T$ — масса весов без грузов. Грузы массой $m_L$ и $m_R$ ($m_L > m_R$) помещаются на левую и правую чаши соответственно. Весы отпускают из горизонтального положения из состояния покоя. Найдите силу нормальной реакции $N$, с которой пол воздействует на весы сразу после отпускания.

Часть C. Улучшенная модель весов Роберваля (3.9 баллов)

В простой модели весов Роберваля, рассмотренной в части B, перевес масс вызывает непрекращающееся угловое ускорение, что делает невозможным определение угла равновесия. Реальные весы Роберваля достигают устойчивого равновесия при определенном угле наклона, зависящем от разницы масс. Часть C посвящена исследованию конструкции таких весов.

Чтобы найти зависимость угла равновесия от разности масс, рассмотрим следующую систему:

• верхняя перекладина: точка опоры (неподвижная ось вращения) расположена на расстоянии $d$ под центром масс перекладины. Перекладина имеет массу $M$ и момент инерции $I_1$ относительно своей точки опоры (неподвижной оси);
• нижняя перекладина: точка опоры (неподвижная ось вращения) совпадает с центром масс перекладины. Перекладина имеет момент инерции $I_2$ относительно своей оси вращения (неподвижной оси);
• $m_1$, $m_2$ ($m_1 \ge m_2$) — совокупная масса чаш и всех грузов, размещенных на них, для левой и правой сторон соответственно. (Обратите внимание на различие в обозначениях по сравнению с частью B);
• $l$ — расстояние от опоры перекладины до точки подвеса чаши;
• $g$ — ускорение свободного падения.

Предполагается, что грузы остаются неподвижными относительно чаш и перемещаются синхронно с ними, а также что шарниры чаш и опора перекладины лежат на одной прямой.

C1  ^1.40 Пусть на чаши весов поместили два груза разных масс $m_1 > m_2$. Весы отпускают из горизонтального положения из состояния покоя. Уравнение движения второго порядка для угла наклона перекладины $\theta$ при этом имеет вид:
$$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta.$$ Выразите коэффициенты $A$, $B$ и $C$ через данные в условии величины. Считайте, что $\theta = 0$ в горизонтальном положении.

C2  ^1.90 Когда весы находятся в состоянии равновесия ($\theta = \theta_0$), малое отклонение вызывает колебания системы. Для анализа этих малых колебаний введем новую переменную $\eta = \theta - \theta_0$. Используя уравнение, полученное в пункте C1, получите приближённое уравнение для $\eta$. Выразите ответ через величины, данные в условии. В ответ не должен входить $\theta_0$.

C3  ^0.60 Пусть общая масса $m_1 + m_2$ — фиксированная величина. Определите, как следует распределить массу между чашами, чтобы период малых колебаний был максимален при постоянной общей массе. Рассчитайте период малых колебаний в пределе, когда $m_1 = m_2 = 0$.