Kundalik hayotda jismlarning massasini oʻlchash uchun turli xil tarozilardan foydalaniladi. Ushbu masala to'sinli (pallali) tarozi va Roberval tarozisiga oid fizik prinsiplar haqidadir. Bu tarozilar tashqi koʻrinishdan oʻxshash boʻlsa-da, ularning tuzilishi biroz farq qiladi va o'zini turlicha namoyon qiladi.

Biz oʻqlardagi kichik ishqalanish kuchi tarozi oxir-oqibat tinch holatga kelishiga imkon beradi deb hisoblaymiz. Biroq, bu ishqalanish shunchalik kichikki, u kuch momentlari balansi orqali aniqlanadigan muvozanat burchagiga taʼsir qilmaydi. Shuning uchun, hisob-kitoblarda ishqalanish va havo qarshiligini hisobga olmaslik (inkor qilish) mumkin.

A. To'sinli tarozining sezgirligi

Toʻsinli tarozi (pallali tarozi) qoʻzgʻalmas oʻq (tayanch nuqtasi yoki sharnir) atrofida aylanadigan toʻsindan (richagdan) hamda toʻsinning har ikki tomoniga osilgan massalari teng boʻlgan ikkita palladan iborat. Agar pallalarga qoʻyilgan massalar bir-biridan farq qilsa, toʻsin muvozanat holatiga kelish uchun ogʻirroq tomon burchagiga qarab ogʻadi.

Toʻsinning harakati davomida unga osilgan pallalar chayqalishi (tebranishi) mumkin. Palla va jismdan iborat tizim tomonidan toʻsinga koʻrsatiladigan kuch ushbu chayqalish tufayli vaqt oʻtishi bilan oʻzgarishi mumkin boʻlsa-da, biz chayqalish effektini hisobga olmagan holda, bu kuchni palla va jismning umumiy ogʻirligiga teng deb olamiz.

Agar tarozi hatto juda kichik massa farqida ham katta burchakka ogʻsa, bunday tarozi sezgir tarozi hisoblanadi. Savolning A qismi aynan mana shu sezgirlik masalasini koʻrib chiqadi.

Toʻsin qalinligi hisobga olinmaydigan darajada yupqa (yassi) plastinka deb faraz qilinadi. Aytaylik, $O$ qoʻzgʻalmas nuqta boʻlsin, $L$ va $R$ esa mos ravishda chap va oʻng pallalar osilgan nuqtalar boʻlsin. 2-rasmda koʻrsatilganidek, toʻsinning massa markazi $O$ nuqta bilan ustma-ust tushadi. Aylanish oʻqi $O$nuqtadan oʻtadi va toʻsinga perpendikulyar hisoblanadi. Toʻsinli tarozi va uning sezgirligiga bogʻliq boʻlishi mumkin boʻlgan fizik parametrlar hamda oʻzgaruvchilar quyidagilardan iborat.

• $b$: $R$ va $L$ nuqtalarini bog'lovchi chiziq bilan $O$ orasidagi vertikal masofa
• $l$: $O$ nuqtadan o'tuvchi o'rta perpendikulyar $L$ va $R$nuqtalargacha bo'lgan gorizontal masofa
• $g$: erkin tushish tezlanishi
• $M$: To'sinning massasi
• $m_1$: Chap palla va uning yukining umumiy massasi
• $m_2$: O'ng pallaning va uning yukining umumiy massasi

$m_1 > m_2$ bo'lganda, to'sin soat miliga qarshi $\theta_0$ burchak ostida egilib, muvozanatga keladi.

A1  ^0.30 Toʻsin gorizontga nisbatan soat mili harakatiga teskari yoʻnalishda $\theta$ burchakka ogʻganda (ogʻdirilganda), soat mili harakatiga teskari yoʻnalishni musbat deb hisoblab, chap palla va uning yuki tomonidan O nuqtaga nisbatan hosil qilingan kuch momentining qiymatini toping.

A2  ^0.30 To'sin gorizontalga nisbatan soat miliga qarshi $\theta$ burchakka og'ganda, o'ng palla va uning yukiga (umumiy massa $m_2$) ta'sir etuvchi, to'sinni soat mili bo'ylab aylantirishga intiladigan kuch momentini toping.

A3  ^0.40 Muvozanat holatida og'ish burchagi $\theta_0$ ni berilgan o'zgaruvchilar va parametrlar orqali ifodalang.

A4  ^0.30

Tarozini sezgirligini oshirish (massalarning farqi kichik bo'lganda $\theta_0$ qiymatini oshirish) uchun $b$ va $l$ shartlaridan qaysi biri to'g'ri? (Noto'g'ri variantni tanlash 0,1 ball jarima bilan jazolanadi.)

1. kattaroq $l$ yoki kattaroq $b$ kattaroq $ $$\mid\theta_0 \mid$ ga olib keladi.
2. kichikroq $l$ yoki kichikroq $b$ kattaroq $\mid\theta_0\mid$ ga olib keladi.
3. kattaroq $l$ yoki kichikroq $b$ kattaroq $\mid\theta_0\mid$ ga olib keladi.
4. kichikroq $l$ yoki kattaroq $b$ kattaroq$\mid\theta_0\mid$ ga olib keladi .

Sotuvda mavjud boʻlgan toʻsinli tarozilarning toʻsini koʻpincha aylanish oʻqi (tayanch nuqtasi) toʻsinning massa markazidan (CM) yuqoriroq boʻladigan qilib yasaladi. Biroq, toʻsinni bunday tayyorlash toʻsinli tarozining sezgirligini kamaytiradi. Ushbu muammoni hal qilish va yanada sezgirroq tarozini loyihalash uchun toʻsinning tuzilishini oʻzgartirish maqsad qilingan. Sinov varianti (nomzod) sifatida, 3-rasmda koʻrsatilganidek, toʻsinning tayanch nuqtasi ($O$) uning massa markazidan (CM) pastda boʻlishi uchun konstruksiya oʻzgartirildi. Toʻsinning tayanch nuqtasi massa markazining ostida, $d$ masofada joylashgan deb olaylik. Toʻsin qalinligi hisobga olinmaydigan darajada yupqa (yassi) plastinka deb faraz qilamiz. Tarozi uchun $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ kattaliklarining qiymatlari oldingi masaladagidek deb hisoblang.

A5  ^0.80 To'sin muvozanatga erishish uchun gorizontga nisbatan $\theta_1 (< \pi/2)$ burchakka og'ganda , og'ish burchagi $\theta_1$ ni berilgan o'zgaruvchilar va parametrlar orqali ifodalang.

A6  ^0.40 Toʻsin barqaror muvozanat burchagi $\theta_1 ( < \pi/2 )$ ga erishish shartini aniqlang. Ushbu shartni $\theta_1$ ga bogʻliq boʻlmagan tengsizlik koʻrinishida ifodalang.

B. Roberval tarozisining asosiy modeli

Roberval tarozisi parallel tutashgan (sharnirli) strukturadan foydalanadi, bunda pallalar ikkita gorizontal to'singa (yuqori va quyi) bamisoli oshiq-maʼshuqdek ishlaydigan tayanch nuqtalari (pivots) orqali biriktiriladi. Ushbu maxsus ulanish hatto toʻsin ogʻganda ham ikki oʻqli pallalarning har biri mukammal darajada vertikal holatda qolishiga imkon beradi. (4-rasm). To'sinlar aylangan sari, pallalar ham oʻzaro sinxron ravishda birgalikda harakatlanadi. Ushbu dizaynning oʻziga xos xususiyati shundaki, tarozi muvozanati faqat har bir tomondagi umumiy massaga bogʻliq boʻladi; yuklarni pallaning aynan qaysi joyiga qoʻyganingiz hech qanday ahamiyatga ega emas. Mazkur toʻsinli taroziga tegishli boʻlishi mumkin boʻlgan fizik parametrlar, oʻzgaruvchilar va belgilashlar quyidagicha keltirilgan (5-rasm).

• $O, O'$ Ikkita gorizontal to'sin uchun qoʻzgʻalmas tayanch nuqtalari
• $ I_1$Yuqori to'sinning aylanish o'qi atrofidagi inertsiya momenti
• $I_2$Paski to'sinning aylanish o'qi atrofidagi inertsiya momenti
• $l$: Markaziy aylanish nuqtasidan pallaning osilish nuqtasigacha bo'lgan masofa
• $x_L, x_R$: Yuklarning chap va o'ng pallalar markazidan mos ravishda gorizontal siljishlari.
• $m$: Har bir pallaning massasi
  
   
• $m_L, m_R$ Chap va o'ng pallalarga joylashtirilgan yuklarning massasi, mos ravishda. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: erkin tushish tezlanish.

Har bir toʻsinning massa markazi (CM) uning aylanish oʻqi bilan ustma-ust tushadi hamda pallalarning aylanish oʻqlari va toʻsinning aylanish oʻqi bir toʻgʻri chiziqda yotadi deb hisoblang.

B1  ^0.30 To'sin gorizontalga nisbatan soat miliga qarshi ($m_L \ge m_R$) $\theta$ burchakka og'ganda sistemaning umumiy potensial energiyasi $U(\theta)$ ni hisoblang. Potensial energiya $U$ ni dastlabki gorizontal holatda nolga teng deb oling.

B2  ^0.50 Tizimning umumiy kinetik energiyasini berilgan o'zgaruvchilar va parametrlar hamda burchak tezligi $\dot{\theta}$ orqali ifodalang.

B3  ^0.60 Burilish burchagi $\theta$ ni aniqlovchi ikkinchi tartibli differensial tenglamani toping.

To'sin gorizontal holatdan chiqarilgan ondagi burchak tezlanishi $\ddot{\theta}$ quyidagicha:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 Boshlangʻich tezlik nolga teng boʻlgan onda, $T_{L1}, T_{L2}$ mos ravishda chap palla hamda yuqori va pastki toʻsinlar orasida taʼsir qiluvchi kuchlarning vertikal tashkil etuvchilari boʻlsin. Shunga oʻxshash, $T_{R1}, T_{R2}$ oʻng palla uchun kuchlarning vertikal tashkil etuvchilari boʻlsin. Berilgan oʻzgaruvchilar va parametrlar orqali $(T_{L2} + T_{R1})$ning qiymatlarini hisoblang.

B5  ^0.60 Tarozining barcha qismlari, jumladan, toʻsinlar va pallalar mutloq qattiq jism deb hisoblab, qoʻyib yuborilgan (harakat boshlangan) onda quyidagi kuchlarning har birini hisoblash mumkin yoki yoʻqligini aniqlang: (Har biri uchun 'Yes' (Ha), 'No' (Yo'q) yoki 'blank' (bo'sh) deb javob bering. Har bir notoʻgʻri javob uchun 0.1 ball jarima qoʻllaniladi.)

1. $T_{R1}$
2. Markaziy aylanish nuqtasi tomonidan yuqori to'singa ta'sir etuvchi kuchning vertikal tashkil etuvchisi

Ushbu masalani yechish uchun zarur boʻlgan barcha bogʻliqlik (munosabat) tenglamalarini tuzing. Shuni yodda tutingki, sizdan faqat tenglamalarning koʻrinishlarini keltirish talab qilinadi; yakuniy aniq hisob-kitoblarni bajarish shart emas.

B6  ^0.60 Tarozining hech qanday yuk qo'yilmagan holatdagi massasi$M_T$ bo'lsin. $m_L$va $m_R$ ($m_L>m_R$) massali yuklar mos ravishda chap va o'ng pallalarga qo'yilsin. To'sin dastlab qoʻl bilan gorizontal holatda ushlab turilgan va keyin qoʻyib yuborilgan. Qoʻyib yuborilgan onda pol tomonidan taroziga taʼsir etuvchi reaksiya kuchi $N$ ni toping.

C. Roberval tarozisining amaliy modeli

B qismda muhokama qilingan Roberval tarozisining asosiy modelida massalar muvozanatsizligi (nomutanosibligi) uzluksiz burchak tezlanishini keltirib chiqaradi, bu esa statik muvozanat burchagini aniqlashni imkonsiz qiladi. Bundan farqli oʻlaroq, amaliy (haqiqiy) Roberval tarozisi massalar farqiga qarab maʼlum bir qiyalik (ogʻish) burchagida barqaror muvozanatga erishadi. C qismda biz bunday amaliy Roberval tarozilarining fizikaviy tuzilishini tahlil qilamiz.

Muvozanat burchagini massalar farqining funksiyasi sifatida hisoblash uchun quyidagi oʻzgaruvchilar va parametrlarni koʻrib chiqing:

• Yuqori to'sin: Tayanch nuqtasi (to'sinning qoʻzgʻalmas oʻqi) to'sinning massa markazidan toʻgʻridan-toʻgʻri yuqorida, vertikal d masofada joylashgan. To'sin $M$ massaga va oʻzining aylanish nuqtasiga (qoʻzgʻalmas oʻqiga) nisbatan $I_1$ inersiya momentiga ega.
• Quyi to'sin: Aylanish nuqtasi (to'sinning qoʻzgʻalmas oʻqi) to'sinning massa markazi bilan mos tushadi. To'sinning oʻzining aylanish o'qiga (qoʻzgʻalmas oʻqiga) nisbatan $I_2$ inersiya momentiga ega.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  : Mos ravishda chap va oʻng tomonlar uchun palla va uning ustiga qoʻyilgan hamma jismlarning umumiy massasi. (belgilashlarning B qismdagidan farq qilishiga eʼtibor bering.)
• $l$: Markaziy aylanish nuqtasi (sharnir) orqali oʻtuvchi oʻrta perpendikulyardan pallaning osilish nuqtasigacha boʻlgan gorizontal masofa
• $g$: erkin tushish tezlanishi.

Yuklar pallalarga nisbatan qoʻzgʻalmas qoladi va ular bilan birgalikda harakat qiladi hamda pallalarning aylanish oʻqlari va toʻsinning aylanish oʻqi bir toʻgʻri chiziqda yotadi deb hisoblang.

C1  ^1.40 Har xil massali jismlarni pallalarga qo'ygan holda( $m_1 > m_2$), to'sin dastlab gorizontal holatda ushlab turiladi va keyin tinch holatidan qo'yib yuboriladi. Bu vaziyatda og'ish burchagi $\theta$ uchun ikkinchi tartibli differensial harakat tenglamasi quyidagi ko'rinishni oladi:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ .

Berilgan o'zgaruvchilar va parametrlar orqali $A,B$ va $C$ koeffitsientlarini aniqlang. Gorizontal holatda $\theta = 0$ deb oling .

C2  ^1.90 Tarozi oʻzining muvozanat holatida boʻlganda ($\theta = \theta_0$), kichik gʻalayon (turtki) to'sinlar va pallalarning muvozanat burchagi atrofida tebranishiga sabab boʻladi. Ushbu kichik tebranishni tahlil qilish uchun biz yangi $\eta = \theta - \theta_0$ oʻzgaruvchisini kiritamiz. C.1 qismda olingan harakat tenglamasini yaqinlashtirish (approksimatsiya qilish) orqali, berilgan oʻzgaruvchilar va parametrlar asosida $\eta$ uchun asosiy tenglamani keltirib chiqaring. Javobda $\theta_0$ qatnashmasligi kerak.

C3  ^0.60 Agar umumiy massa $m_1 + m_2$ oʻzgarmas boʻlsa, kichik tebranishlar davrini maksimallashtirish (maksimal darajaga yetkazish) uchun massa pallalar oʻrtasida qanday taqsimlanishi kerakligini aniqlang. $m_1 = m_2 = 0$ boʻlgan chegaraviy holatda kichik tebranishlar davrini hisoblang.