În viața de zi cu zi se utilizează diverse tipuri de cântare pentru măsurarea maselor corpurilor. Acest subiect se referă la principiile fizice legate de balanța cu pârghie, cunoscută și sub numele de balanța Roberval. Deși aceste balanțe au un aspect similar, ele prezintă structuri ușor diferite și se comportă în mod diferit.

Presupunem că frecările mici la puncte de pivotare permit balanței să se oprească în cele din urmă. Cu toate acestea, frecarea este considerată suficient de mică încât să nu modifice unghiul teoretic de echilibru determinat de echilibrul cuplului de forțe. În consecință, puteți neglija frecarea și rezistența aerului în calcule.

A. Sensibilitatea balanței cu pârghie

O balanță cu pârghie este alcătuită dintr-o pârghie care se rotește în jurul unei axe fixe (pivot sau punct de sprijin) și două talere de masă egală, suspendate de fiecare capăt al pârghiei. Dacă masele așezate pe talere sunt diferite, pârghia se înclină spre partea mai grea pentru a ajunge la echilibru.

În timpul mișcării pârghieii, talerele suspendate pot balansa. Deși forța exercitată de sistemul format din taler și corpul de pe taler poate varia în timp din cauza acestei balansări, aproximăm forța ca fiind greutatea totală a talerului și a corpului, neglijând efectul de balansare.

Dacă pârghia se înclină cu un unghi mare chiar și pentru o diferență mică de masă, balanța este considerată sensibilă. Partea A a subiectului examinează problema sensibilității.

Se presupune că pârghia este o foaie plană cu grosime neglijabilă. Fie $O$ punctul fix, iar $L$ și $R$ punctele în care sunt suspendate talerele din stânga, respectiv din dreapta. Centrul de masă al pârghiei coincide cu punctul $O$ , așa cum se arată în fig. 2. Axa de rotație trece prin $O$ și este perpendiculară pe pârghie. Parametrii fizici și variabilele care pot fi legate de balanța cu pârghie și de sensibilitatea acesteia sunt următoarele:

• $b$: distanța pe verticală dintre $O$ și dreapta care conectează punctele $L$ și $R$
• $l$: distanța orizontală de la perpendiculara care trece prin $O$ până la punctele $L$ și $R$
• $g$: accelerația gravitațională
• $M$: Masa pârghiei
• $m_1$: Masa totală a talerului din stânga și a încărcăturii sale
• $m_2$: Masa totală a talerului din dreapta și a încărcăturii sale

Atunci când $m_1 > m_2$, pârghia se înclină în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi $\theta_0$ pentru a ajunge la echilibru.

A1  ^0.30 Când pârghia este înclinată cu un unghi $\theta$ în sens invers acelor de ceasornic față de orizontală, calculați mărimea cuplului față de O, exercitat de talerul stâng și de sarcina sa, luând sensul invers acelor de ceasornic ca fiind pozitiv.

A2  ^0.30 Când pârghia este înclinată cu un unghi $\theta$ în sens invers acelor de ceasornic față de orizontală, se cere să se calculeze cuplul exercitat de talerul din dreapta și de sarcina sa (masa totală $m_2$), care tinde să rotească pârghia în sensul acelor de ceasornic.

A3  ^0.40 Exprimați unghiul $\theta_0$ de înclinare la echilibru în funcție de variabilele și parametrii dați.

A4  ^0.30

Pentru a spori sensibilitatea cântarului (o valoare mai mare $\theta_0$pentru o diferență mică de masă), care dintre următoarele condiții pentru $b$ și $l$ este corectă? (Alegerea unei variante incorecte va duce la o scădere de 0.1 puncte.)

1. $ $Un $l$ mai mare sau un $b$ este mai mare conduce la o valoare mai mare pentru $\mid\theta_0 \mid$.
2. Un $l$ mai mic sau un $b$ mai mic conduce la o valoare mai mare pentru $\mid\theta_0\mid$.
3. Un $l$ mai mare sau un $b$ mai mic conduce la o valoare mai mare pentru $\mid\theta_0\mid$.
4. Un $l$ mai mic sau un $b$ mai mare conduce la o valoare mai mare pentru $\mid\theta_0\mid$.

Pârghia unei balanțe disponibile în comerț este adesea realizată astfel încât axa de rotație (punctul de pivotare $O$) să se afle mai sus decât centrul de masă (CM) al pârghiei. Totuși, această configurație a pârghiei reduce sensibilitatea balanței. Pentru a rezolva această problemă și a proiecta o balanță mai sensibilă, ne propunem să modificăm structura pârghiei. Ca variantă, pârghia este proiectată prin modificarea sa, astfel încât punctul de pivotare ($O$) al său să se afle sub centrul de masă (CM) al pârghiei, așa cum se arată în fig. 3. Să presupunem că punctul de pivotare al pârghiei este poziționat la o distanță $d$ sub centrul de masă. Se presupune că pârghia este o foaie plană cu grosime neglijabilă. Semnificațiile lui $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ pentru balanță sunt aceleași ca în problema anterioară.

A5  ^0.80 Când pârghia se înclină cu un unghi $\theta_1 (< \pi/2)$ față de orizontală pentru a ajunge la echilibru, exprimați unghiul $\theta_1$ de înclinare în funcție de variabilele și parametrii dați.

A6  ^0.40 Determinați condiția pentru ca pârghia să atingă un unghi de echilibru stabil $\theta_1 (< \pi/2)$. Exprimați condiția sub forma unei inegalități independente de $\theta_1$.

B. Modelul de bază al balanței Roberval

Balanța Roberval utilizează o structură cu articulații paralele, în care talerele sunt conectate la două brațe orizontale (superior și inferior). Aceste două brațe sunt conectate cu talerele prin intermediul unor pivoti, care acționează ca niște balamale. Această conexiune specială permite talerelor să rămână perfect verticale chiar și atunci când brațele se înclină (Fig. 4). Pe măsură ce brațele se rotesc, talerele se mișcă împreună în mod sincronizat. O caracteristică unică a acestui design este faptul că echilibrul depinde doar de masa totală de pe fiecare parte; nu contează unde așezați greutățile pe talere. Parametrii fizici, variabilele și notațiile care pot fi legate de balanța cu brațe sunt următoarele (Fig. 5).

• $O, O'$: Pivoți ficși pentru cele două brațe orizontale
• $ I_1$: Momentul de inerție al brațului superior față de axa sa de rotație
• $I_2$: Momentul de inerție al brațului inferior față de axa sa de rotație
• $l$: Distanța dintre pivotul central și punctul de suspensie al talerului
• $x_L, x_R$: Distanțele orizontale de la greutăți la centrul talerului din stânga și, respectiv, din dreapta.
• $m$: masa fiecărui taler
   
• $m_L, m_R$: Masa încărcăturii plasate pe talerul din stânga și, respectiv, din dreapta. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: Accelerația gravitațională.

Să presupunem că centrul de masă (CM) al fiecărui braț coincide cu punctul său de pivotare și că pivoții talerelor și pivotul brațului sunt pe aceeași dreaptă.

B1  ^0.30 Determinați energia potențială totală a sistemului $U(\theta)$ atunci când brațul este înclinat în sens invers acelor de ceasornic, cu un unghi $\theta$ față de orizontală ($m_L \ge m_R$). Se consideră că energia potențială $U$ este egală cu zero în poziția inițială orizontală.

B2  ^0.50 Exprimați energia cinetică totală a sistemului în funcție de variabilele și parametrii dați și de viteza unghiulară $\dot{\theta}$.

B3  ^0.60 Determinați ecuația diferențială de ordinul doi care descrie unghiul de rotație $\theta$.

Accelerația unghiulară $\ddot{\theta}$ în momentul în care pârghia este eliberată din poziția orizontală este următoarea:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 La momentul la care viteza inițială este zero, fie $T_{L1}, T_{L2}$ mărimile componentelor verticale ale forțelor care acționează între talerul din stânga și brațele superior, respectiv inferior. În mod similar, fie $T_{R1}, T_{R2}$ mărimile componentelor verticale ale forțelor pentru talerul din dreapta. Calculați valorile lui $(T_{L2} + T_{R1})$ în funcție de variabilele și parametrii dați.

B5  ^0.60 Presupunând că toate componentele balanței, inclusiv brațele și talerele, sunt corpuri rigide, determinați dacă fiecare dintre următoarele forțe pot fi calculate în momentul eliberării: (Răspundeți cu Yes, No sau nu marcați nimic pentru fiecare. Se va aplica o penalizare de 0.1 puncte pentru fiecare răspuns incorect.)

1. $T_{R1}$
2. Componenta verticală a forței exercitată de pivotul central asupra brațului superior

Determinați toate ecuațiile de relație necesare pentru rezolvarea acestei probleme. Rețineți că trebuie doar să prezentați forma ecuațiilor; nu este necesar să faceți calculele finale în mod explicit.

B6  ^0.60 Fie $M_T$ masa balanței fără greutăți. Greutățile cu masele $m_L$ și$m_R$ ($m_L > m_R$) sunt așezate pe talerele din stânga și, respectiv, din dreapta. Brațul balanței este ținut inițial în poziție orizontală cu mâna, apoi este eliberat. Determinați forța normală $N$exercitată de podea asupra balanței imediat după eliberare.

C. Modelul practic al balanței Roberval

În modelul de bază al balanței Roberval, analizat în Partea B, un dezechilibru de masă provoacă o accelerație unghiulară continuă, făcând imposibilă determinarea unui unghi de echilibru static. În schimb, o balanță Roberval practică ajunge la un echilibru stabil la un unghi de înclinare specific, care depinde de diferența de masă. În Partea C, analizăm structura fizică a acestor balanțe Roberval practice.

Pentru a calcula unghiul de echilibru ca funcție a diferenței de masă, luați în considerare următoarele variabile și parametri:

• brațul superior: Punctul de pivotare (axa fixă a brațului) se află la o distanță $d$ verticală exact deasupra centrului de masă al brațului. Brațul are o masă $M$ și un moment de inerție $I_1$ față de axa fixă care trece prin punctul de pivotare.
• Brațul inferior: Punctul de pivotare (axa fixă a brațului) coincide cu centrul de masă al brațului. Brațul are un moment de inerție $I_2$ față de axa fixă care trece prin punctul de pivotare.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  : Masa totală a talerului și a corpurilor așezate pe acesta, atât pentru partea stângă, cât și pentru cea dreaptă.
  
  (Rețineți diferența de notație față de partea B.)
• $l$: Distanța orizontală dintre perpendiculara care trece prin punctul central de pivotare și punctul de suspensie al talerului
• $g$: Accelerația gravitațională.

Se presupune că greutățile rămân staționare în raport cu talerele și se mișcă la unison cu acestea, precum și că pivoții talerelor și pivotul brațului se află pe aceeași dreaptă.

C1  ^1.40 Cu două greutăți de mase diferite așezate pe talere, ($m_1>m_2$), brațul este inițial menținut în poziție orizontală și apoi eliberat din repaus. În această situație, ecuația diferențială de ordinul doi a mișcării pentru unghiul $\theta$ de înclinare ia forma:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ .

Determinați coeficienții $A,B$ și $C$ în funcție de variabilele și parametrii dați. Setați $\theta = 0$ pentru poziție orizontală.

C2  ^1.90 Când balanța se află în starea de echilibru ($\theta=\theta_0$), o ușoară perturbație determină oscilația brațelor și a talerelor în jurul unghiului de echilibru. Pentru a analiza această mică oscilație, definim o nouă variabilă $\eta=\theta-\theta_0$. Prin aproximarea ecuației de mișcare obținută în partea C.1, deduceți ecuația care guvernează $\eta$ în funcție de variabilele și parametrii dați. Răspunsul nu trebuie să includă $\theta_0$.

C3  ^0.60 Dacă masa totală $m_1+m_2$ este constantă, determinați cum trebuie distribuită masa între cele două talere pentru a maximiza perioada micilor oscilații. Determinați perioada micilor oscilații la limita $m_1=m_2=0$.