เครื่องชั่งมวลที่ใช้งานทั่วไปมีอยู่หลากหลายประเภท โดยโจทย์ข้อนี้จะศึกษาเกี่ยวกับหลักการทางฟิสิกส์ของเครื่องชั่งโรแบร์วาล (Roberval balance) แม้ว่าเครื่องชั่งในกลุ่มนี้จะดูคล้ายคลึงกัน แต่ในรายละเอียดของโครงสร้างและกลไกการทำงานอาจมีความแตกต่างกันเล็กน้อย

กำหนดให้แรงเสียดทานที่จุดหมุนมีขนาดเพียงเล็กน้อยเพื่อให้เครื่องชั่งสามารถเข้าสู่สภาวะหยุดนิ่งได้ในท้ายที่สุด ทว่าแรงเสียดทานดังกล่าวมีค่าน้อยมากจนไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของมุม ณ ตำแหน่งสมดุลที่คำนวณจากสมดุลของทอร์ก ดังนั้นนักเรียนไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงผลของแรงเสียดทานและแรงต้านอากาศในการคำนวณได้

ตอนที่ A: ความไว (sensitivity) ของเครื่องชั่ง

เครื่องชั่งนี้ประกอบด้วยคาน (แขนของคาน) ที่สามารถหมุนได้อย่างอิสระรอบแกนตรึง (จุดหมุน) โดยมีถาดชั่งสองใบที่มีมวลเท่ากันแขวนอยู่คนละฝั่งของคาน หากมวลของวัตถุบนถาดทั้งสองฝั่งมีค่าไม่เท่ากัน คานจะเอียงไปทางฝั่งที่มีมวลมากกว่าจนกระทั่งระบบเข้าสู่สภาวะสมดุล

ในระหว่างที่คานเคลื่อนที่ ถาดชั่งที่แขวนอยู่อาจจะเกิดการแกว่งเกิดขึ้น ซึ่งอาจส่งผลให้แรงที่ถาดและวัตถุกระทำต่อคานมีการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา อย่างไรก็ตามนักเรียนสามารถประมาณขนาดของแรงดังกล่าวให้เท่ากับน้ำหนักรวมของถาดและวัตถุได้ โดยไม่จำเป็นต้องนำผลกระทบจากการแกว่งนี้มาพิจารณา

ในกรณีที่มวลบนถาดทั้งสองฝั่งมีความแตกต่างกันเพียงเล็กน้อย แต่สามารถทำให้คานเอียงทำมุมขนาดโตได้ จะถือว่าเครื่องชั่งนี้มีความไว (Sensitivity) สูง ประเด็นของคำถามในตอนที่ A จะเกี่ยวกับความไวของเครื่องชั่ง

กำหนดให้คานเป็นแผ่นแบนบางที่มีความหนาน้อยมาก มีจุด $O$ เป็นจุดหมุน โดยจุด $L$ และจุด $R$ คือตำแหน่งที่แขวนถาดซ้ายและถาดขวาตามลำดับจุดศูนย์กลางมวลของคานอยู่ที่จุด $O$ ดังที่แสดงในรูปที่ 2 ทั้งนี้แกนหมุนจะผ่านจุด $O$ และตั้งฉากกับคาน ตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างและความไวของเครื่องชั่งมีดังนี้:

• $b$: ความยาวตามแนวดิ่งจากจุด $O$ ถึงเส้นที่เชื่อมจุด $L$ และจุด $R$
• $l$: ความยาวในแนวระดับจากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ผ่านจุด $O$ ไปยังจุด $L$ และจุด $R$
• $g$: ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง
• $M$: มวลของคาน
• $m_1$: มวลรวมของถาดชั่งด้านซ้ายและมวลของวัตถุที่อยู่บนถาด
• $m_2$: มวลรวมของถาดชั่งด้านขวาและมวลของวัตถุที่อยู่บนถาด

ในกรณีที่ $m_1 > m_2$ คานจะเอียงในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาไปเป็นมุม $\theta_0$ เพื่อเข้าสู่สมดุล

A1  ^0.30 ณ ขณะที่คานเอียงทำมุม $\theta$ กับแนวระดับในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา จงหาขนาดของทอร์ก รอบจุด $O$ อันเนื่องมาจากถาดชั่งด้านซ้ายและมวลของวัตถุที่อยู่บนถาด กำหนดให้ทิศทางทวนเข็มนาฬิกามีค่าเป็นบวก

A2  ^0.30 ณ ขณะที่คานเอียงทำมุม $\theta$ กับแนวระดับในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา จงหาทอร์กอันเนื่องมาจากถาดชั่งด้านขวาและมวลของวัตถุที่อยู่บนถาด (ซึ่งมีมวลรวมเท่ากับ $m_2$) ที่พยายามหมุนคานในทิศตามเข็มนาฬิกา

A3  ^0.40 จงเขียนสมการแสดงมุมเอียง $\theta_0$ ณ ตำแหน่งสมดุลในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้

A4  ^0.30

หากต้องการให้เครื่องชั่งมีความไวสูง (ค่ามุม $\theta_0$ โต เมื่อผลต่างมวลทั้งสองมีค่าน้อย) เงื่อนไข ของ $b$ และ $l$ ในข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง? (หากตอบผิด จะถูกหัก 0.1 คะแนน)

1. การเพิ่มค่า $l$ หรือการเพิ่มค่า $b$ จะทำให้มุม $ $$\mid\theta_0 \mid$ มีค่ามากขึ้น
2. การลดค่า $l$ หรือการลดค่า $b$ จะทำให้มุม $\mid\theta_0\mid$ มีค่ามากขึ้น
3. การเพิ่มค่า $l$ หรือการลดค่า $b$ จะทำให้มุม $\mid\theta_0\mid$ มีค่ามากขึ้น
4. การลดค่า $l$ หรือการเพิ่มค่า $b$ จะทำให้มุม $\mid\theta_0\mid$ มีค่ามากขึ้น

โดยทั่วไปแล้ว คานของเครื่องชั่งที่มีการใช้งานเชิงพาณิชย์มักจะสร้างให้แกนหมุน (จุดหมุน $O$) อยู่ที่ตำแหน่งสูงกว่าจุดศูนย์กลางมวล (CM) ของตัวคานเอง แต่การทำเช่นนี้จะทำให้เครื่องชั่งมีความไวน้อยลง เพื่อจะแก้ปัญหาและทำให้เครื่องชั่งมีความไวมากขึ้น เราจำเป็นต้องปรับเปลี่ยนโครงสร้างของคานใหม่ หนึ่งในตัวเลือกของการออกแบบคือ การปรับให้จุดหมุน ($O$) ของคานอยู่ต่ำกว่าจุดศูนย์กลางมวล (CM) ของคาน ดังที่แสดงในรูปที่ 3 โดยให้จุดหมุนอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางมวลลงมาเป็นระยะ $d$ กำหนดให้คานเป็นแผ่นแบนที่มีความหนาน้อยมาก และตัวแปร $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ มีความหมายเหมือนกับในโจทย์ข้อก่อนหน้า

A5  ^0.80 เมื่อคานเอียงตัวทำมุม $\theta_1 (< \pi/2)$ กับแนวระดับ คานจะเข้าสู่ตำแหน่งสมดุล จงเขียนสมการ แสดงมุมเอียง $\theta_1$ ในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้

A6  ^0.40 จงหาเงื่อนไขที่ทำให้คานสามารถเข้าสู่สภาวะสมดุลที่มุม $\theta_1 (< \pi/2)$ ค่าหนึ่ง โดยแสดง เงื่อนไขดังกล่าวในรูปของอสมการที่ไม่ขึ้นกับค่ามุม $\theta_1$

ตอนที่ B: แบบจำลองพื้นฐานของเครื่องชั่งโรแบร์วาล

เครื่องชั่งโรแบร์วาล (Roberval balance) ใช้โครงสร้างกลไกข้อต่อแบบด้านขนาน (parallel-linkage structure) โดยถาดชั่งจะเชื่อมต่อกับคานแนวระดับทั้งสองชิ้น (คานบนและคานล่าง) ด้วยจุดหมุน

กลไกการเชื่อมต่อพิเศษนี้ช่วยให้ถาดชั่งแต่ละใบซึ่งยึดด้วยจุดหมุนสองจุด ยังคงรักษาการวางตัวในแนวดิ่งได้อย่าง สมบูรณ์แม้ในขณะที่คานเอียง (ดังแสดงในรูปที่ 4) โดยเมื่อคานหมุนขยับ ถาดชั่งทั้งสองจะเคลื่อนที่ขึ้นและลงพร้อมกันอย่างสอดประสาน

คุณลักษณะเด่นอันเป็นเอกลักษณ์ของการออกแบบนี้ คือ สมดุลของเครื่องชั่งจะขึ้นอยู่กับมวลรวมในแต่ละด้านเท่านั้น โดยไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงตำแหน่งการวางวัตถุหรือตุ้มน้ำหนักบนถาดชั่ง ตัวแปรและสัญลักษณ์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเครื่องชั่งแบบคานนี้ มีรายละเอียดดังต่อไปนี้ (รูปที่ 5)

• $O, O'$: จุดหมุนของคานในแนวระดับทั้งสองชิ้น
• $ I_1$: โมเมนต์ความเฉื่อยของคานบนรอบแกนหมุน
• $I_2$: โมเมนต์ความเฉื่อยของคานล่างรอบแกนหมุน
• $l$: ระยะทางจากจุดหมุนตรงกลางถึงจุดแขวนถาดชั่ง
• $x_L, x_R$: ระยะเยื้องในแนวระดับของวัตถุจากจุดศูนย์กลางของถาดชั่งด้านซ้ายและด้านขวา ตามลำดับ
• $m$: มวลของถาดชั่งแต่ละใบ
   
• $m_L, m_R$:มวลของวัตถุที่วางบนถาดชั่งด้านซ้ายและด้านขวา ตามลำดับ ($m_L \ge m_R$)
• $g$: ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

กำหนดให้จุดศูนย์กลางมวล (CM) ของคานแต่ละชิ้นอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกันกับของจุดหมุนพอดี และจุดหมุนของถาดชั่งทั้งสองกับจุดหมุนของคานวางตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

B1  ^0.30 จงหาสมการของพลังงานศักย์รวมของระบบ $U(\theta)$ เมื่อคานเอียงในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาทำมุม $\theta$ กับแนวระดับ ($m_L \ge m_R$) โดยให้ระดับพลังงานศักย์ $U$ มีค่าเป็นศูนย์ ณ ตำแหน่งเริ่มต้นในแนวระดับ

B2  ^0.50 จงหาสมการของพลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้และ

ความเร็วเชิงมุม $\dot{\theta}$

B3  ^0.60 จงหาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่แสดงการเปลี่ยนแปลงของมุม $\theta$

ความเร่งเชิงมุม $\ddot{\theta}$ ณ ขณะที่คานถูกปล่อยจากแนวระดับคือ:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 ณ ขณะที่ระบบมีความเร็วเริ่มต้นเป็นศูนย์ กำหนดให้ $T_{L1}$ และ $T_{L2}$ เป็นขนาดขององค์ประกอบของแรงในแนวดิ่งที่กระทำระหว่างถาดชั่งด้านซ้ายกับคานบนและคานล่าง ตามลำดับ และในทำนองเดียวกัน ให้ $T_{R1}$ และ $T_{R2}$ เป็นขนาดขององค์ประกอบของแรงในแนวดิ่งที่กระทำต่อถาดชั่งด้านขวา จงหาสมการของ $(T_{L2} + T_{R1})$ ในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้

B5  ^0.60 สมมติให้ส่วนประกอบทุกชิ้นของเครื่องชั่ง รวมถึงคานและถาดชั่ง เป็นวัตถุแข็งเกร็ง (Rigid bodies) จงพิจารณาว่าแรงในแต่ละข้อต่อไปนี้สามารถคำนวณหาค่า ณ ขณะที่ปล่อยได้หรือไม่ (ตอบ Yes (ใช่), No (ไม่ใช่) หรือเว้นว่าง ในแต่ละข้อ โดยหากตอบผิดจะถูกหักข้อละ 0.1 คะแนน

1. $T_{R1}$
2. องค์ประกอบของแรงในแนวดิ่งที่กระทำกับแกนหมุนตรงกลางของคานบน

จงตั้งสมการความสัมพันธ์ที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแก้โจทย์ข้อนี้

หมายเหตุ: ให้แสดงเฉพาะรูปแบบหรือโครงสร้างของสมการเท่านั้น; โดยไม่จำเป็นต้องแสดงการคำนวณเพื่อหาผลลัพธ์สุดท้ายอย่างละเอียด

B6  ^0.60 กำหนดให้ $M_T$ เป็นมวลของตัวเครื่องชั่งเมื่อยังไม่ได้วางวัตถุใด ๆ เมื่อนำวัตถุมวล $m_L$ และ $m_R$ ($m_L > m_R$) ไปวางบนถาดชั่งด้านซ้ายและด้านขวาตามลำดับ หากในตอนเริ่มต้นคานถูกยึดให้อยู่ในแนวระดับด้วยมือแล้วจึงปล่อย จงหาแรงปฏิกิริยาตั้งฉาก $N$ ที่พื้นกระทำต่อเครื่องชั่งทันทีหลังจากปล่อยมือ

ตอนที่ C: แบบจำลองในทางปฏิบัติของเครื่องชั่งโรแบร์วาล

ในแบบจำลองอย่างง่ายของเครื่องชั่งโรแบร์วาลที่พิจารณาในตอนที่ B นั้น ความไม่สมดุลของมวลจะส่งผลให้ระบบเกิดความเร่งเชิงมุมอย่างต่อเนื่อง จึงไม่สามารถหามุมที่ระบบอยู่ในสมดุลได้ (static equilibrium angle) ในทางตรงกันข้าม เครื่องชั่งโรแบร์วาลในสภาวะใช้งานจริงจะสามารถเข้าสู่สภาวะสมดุล ณ มุมเอียงค่าหนึ่งซึ่งขึ้นอยู่กับผลต่างของมวล ในตอนที่ C นี้ นักเรียนจะมาวิเคราะห์โครงสร้างทางกายภาพของเครื่องชั่งโรแบร์วาลในสภาวะใช้งานจริงดังกล่าว

โดยการคำนวณหามุมสมดุลในรูปของฟังก์ชันของผลต่างมวล จะอาศัยการพิจารณาตัวแปรต่าง ๆ ดังต่อไปนี้:

• คานบน: จุดหมุน (แกนตรึงของคาน) อยู่สูงกว่าจุดศูนย์กลางมวลของคานเป็นระยะทางในแนวดิ่งเท่ากับ $d$ โดยคานมีมวล $M$ และมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุน (แกนตรึง) เท่ากับ $I_1$
• คานล่าง: จุดหมุน (แกนตรึงของคาน) อยู่ ณ ตำแหน่งเดียวกับจุดศูนย์กลางมวลของคาน โดยคานมีโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุน (แกนตรึง) เท่ากับ $I_2$
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$): มวลรวมของถาดชั่งและวัตถุที่วางอยู่บนถาดด้านซ้ายและถาดด้านขวา ตามลำดับ (หมายเหตุ: โปรดสังเกตความแตกต่างของการใช้สัญลักษณ์จากตอนที่ B)
• $l$: ระยะในแนวระดับที่วัดจากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากซึ่งผ่านจุดหมุนตรงกลางไปยังจุดแขวนถาดชั่ง
• $g$: ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

กำหนดให้วัตถุหยุดนิ่งสัมพัทธ์กับถาดชั่งและเคลื่อนที่ไปพร้อมกับถาดชั่งเสมอ และ จุดหมุนของถาดชั่งทั้งสองกับจุดหมุนของคานวางตัวอยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

C1  ^1.40 เมื่อนำวัตถุที่มีมวลต่างกันไปวางบนถาดชั่ง ($m_1 > m_2$) โดยในตอนเริ่มต้น คานถูกยึดให้อยู่ในแนวระดับ จากนั้นจึงปล่อยให้เริ่มเคลื่อนที่จากจุดหยุดนิ่ง ในสถานการณ์นี้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองสำหรับการเคลื่อนที่ของมุมเอียง $\theta$ จะอยู่ในรูป: $A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$

จงหาสมการของ $A,B$ และ $C$ ในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้ กำหนดให้มุม $\theta = 0$ เป็นตำแหน่งแนวระดับ

C2  ^1.90 เมื่อเครื่องชั่งอยู่ในสภาวะสมดุล ($\theta = \theta_0$) หากมีการรบกวนระบบเพียงเล็กน้อย จะส่งผลให้คานและถาดชั่งเกิดการสั่นรอบมุมสมดุล เพื่อวิเคราะห์การสั่นแบบมุมเล็ก ๆ (small oscillation) นี้ เราจะนิยามตัวแปรใหม่เป็น $\eta = \theta - \theta_0$ โดยอาศัยการประมาณค่าจากสมการการเคลื่อนที่ซึ่งได้จากข้อ C.1 จงหาสมการการเคลื่อนที่ของ $\eta$ ในรูปของตัวแปรที่กำหนดให้ ทั้งนี้ ในคำตอบสุดท้ายจะต้องไม่มีตัวแปร $\theta_0$ ปรากฏอยู่

C3  ^0.60 หากกำหนดให้มวลรวม $m_1 + m_2$ มีค่าคงตัว จงหาว่ามวลของถาดชั่งทั้งสองควรมีค่าเป็นอย่างไร เพื่อให้คาบของการสั่นแบบมุมเล็ก ๆ มีค่ามากที่สุด พร้อมทั้งคำนวณหาคาบของการสั่นนี้ในกรณีที่ $m_1 = m_2 = 0$