Pertanyaan ini berkaitan dengan prinsip fisika neraca timbang batang atau neraca Roberval. Meskipun timbangan ini terlihat serupa, mereka memiliki struktur yang sedikit berbeda dan berperilaku berbeda.

Dalam soal ini, diasumsikan gesekan ada pada poros untuk memungkinkan timbangan akhirnya berhenti. Namun, besarnya dianggap cukup kecil sehingga tidak mengubah sudut keseimbangan teoritis yang ditentukan oleh keseimbangan torsi, sehingga Anda dapat mengabaikan gesekan dan resistensi udara dalam perhitungan numerik dan analisis Anda.

A. Sensitivitas Neraca Timbang Batang

Neraca timbangan batang terdiri dari sebuah batang yang berputar di sekitar sumbu tetap (poros atau tumpuan) dan dua piringan dengan massa yang sama tergantung di kedua sisi batang. Jika massa yang ditempatkan di piringan berbeda, batang akan miring ke sisi yang lebih berat untuk mencapai keseimbangan.

Selama gerakan batang, piringan yang tergantung dapat berayun. Meskipun gaya yang diberikan oleh piringan dan benda dapat bervariasi dengan waktu karena ayunan ini, gaya tersebut dianggap sebagai total berat piringan dan benda, abaikan efek ayunan.

Jika batang miring pada sudut besar meskipun perbedaan massa kecil, timbangan dianggap sensitif. Bagian A dari pertanyaan ini membahas masalah sensitivitas.

Batang dianggap sebagai lembaran datar dengan ketebalan yang dapat diabaikan. Ambil O sebagai titik tetap, dan titik-titik L dan R titik-titik di mana piringan kiri dan kanan digantung. Pusat massa batang tepat di titik O, seperti pada gambar 2. Sumbu rotasi melewati O dan tegak lurus terhadap batang. Parameter fisis dan variabel yang terkait dengan neraca balok dan sensitivitasnya adalah sebagai berikut.

• $b$: jarak vertikal antara $O$ dan garis yang menghubungkan $L$ dan $R$
• $l$: jarak horizontal dari garis bagi tegak lurus yang melalui titik $O$ ke titik-titik$L$ dan $R$
• $g$: percepatan gravitasi
• $M$: massa of batang
• $m_1$: total massa piringan kiri dan bebannya
• $m_2$: total massa piringan kanan dan bebannya

Ketika $m_1 > m_2$, balok miring berlawanan jarum jam dengan sudut $\theta_0$ untuk mencapai keseimbangan.

A1  ^0.30 Ketika batang miring dengan sudut $\theta$ berlawanan arah jarum jam dari horizontal, tentukan torsi yang diberikan oleh piringan kiri dan bebannya ($m_1$), gunakan konvensi torsi berlawanan arah jarum jam positif.

A2  ^0.30 Ketika batang miring dengan sudut $\theta$ berlawanan arah jarum jam dari horizontal, tentukan torsi yang diberikan oleh piringan kanan dan bebannya ($m_2$). Pada bagian ini gunakan konvensi torka searah jarum jam positif.

A3  ^0.40 Nyatakan sudut kemiringan $\theta_0$ pada keadaan kesetimbangan dalam variabel dan parameter yang telah diberikan.

A4  ^0.30

Untuk membuat timbangan yang lebih sensitif ($\theta_0$ yang lebih besar untuk selisih massa yang kecil), manakah dari kondisi berikut untuk $b$ dan$l$ yang benar? (Memilih jawaban yang salah akan mengakibatkan pengurangan 0.1 poin.)

1. $ $$l$ lebih besar, $b$ lebih besar, hasilnya $\mid\theta_0 \mid$ lebih besar.
2. $ $$l$ lebih kecil, $b$ lebih kecil, hasilnya $\mid\theta_0 \mid$ lebih besar.
3. $ $$l$ lebih besar, $b$ lebih kecil, hasilnya $\mid\theta_0 \mid$ lebih besar.
4. $ $$l$ lebih kecil, $b$ lebih besar, hasilnya $\mid\theta_0 \mid$ lebih besar.

Batang pada neraca timbang batang komersial sering kali dirancang sehingga sumbu rotasi (titik tumpu $O$) lebih tinggi daripada pusat massa (CM) balok. Desain seperti ini mengurangi sensitivitas timbangan batang. Untuk mengatasi masalah ini dan merancang timbangan yang lebih sensitif, kita akan mengubah struktur batang. Sebagai contoh, batang dapat dirancang dengan titik poros ($O$) balok berada di bawah pusat massa (CM) batang seperti pada Gambar 3, dengan titik poros balok berada pada jarak $d$ di bawah pusat massa. Batang dianggap sebagai lembaran datar dengan ketebalan yang diabaikan. Besaran-besaran $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ sama dengan sebelumnya.

A5  ^0.80 Apabila batang miring dengan sudut $\theta_1 (< \pi/2)$ terhadap horizontal untuk mencapai keseimbangan, nyatakan sudut kemiringan $\theta_1$ dalam variabel dan parameter yang telah diberikan.

A6  ^0.40 Tentukan syarat agar batang mencapai sudut kesetimbangan $\theta_1 ( < \pi/2 )$ yang stabil. Tentukan syarat keseimbangan stabil dalam pertidaksamaan yang tidak bergantung pada $\theta_1$.

B. Model Dasar Timbangan Roberval

Timbangan Roberval menggunakan struktur sambungan paralel, di mana piringan-piringannya terhubung ke dua batang horizontal (atas dan bawah). Kedua batang ini disambungkan ke piringan melalui poros/sumbu, seperti engsel. Sambungan ini memungkinkan piringan tetap vertikal sempurna meskipun batang-batangnya miring (Gambar 4). Abaikan gambar ini, perhatikan gambar 5. Ketika batang-batang berputar, piringan-piringan mengikuti dengan tetap vertikal. Batang vertikal dapat dianggap tidak bermassa. Fitur unik dari desain ini adalah kesetimbangan hanya bergantung pada massa total di setiap sisi; tidak tergantung jarak horizontal beban dari pusat piringan kiri maupun kanan. Parameter fisik, variabel, dan notasi yang terkait adalah sebagai berikut (Gambar 5).

• $O, O'$: Titik tumpu tetap untuk kedua balok horizontal
• $ I_1$: Momen inersia batang atas terhadap sumbu rotasinya
• $I_2$: Momen inersia balok bawah terhadap sumbu rotasinya
• $l$: Jarak dari poros pusat ke titik penopang piringan
• $x_L, x_R$: jarak horizontal masing-masing beban dari pusat piringan kiri dan kanan.
• $m$: massa dari kedua piringan
• $m_L, m_R$: massa masing-masing beban yang diletakkan pada piringan kiri dan kanan. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: percepatan gravitasi.

Asumsikan pusat massa (CM) setiap batang bertepatan dengan poros rotasinya. Juga asumsikan titik putar piringan dan titik putar batang berada pada satu garis.

B1  ^0.30 Hitunglah energi potensial total sistem ($U(\theta)$), ketika balok dimiringkan berlawanan arah jarum jam sebesar sudut $\theta$ dari posisi horizontal ($m_L \ge m_R$). Gunakan energi potensial $U$ nol pada posisi awal horizontal.

B2  ^0.50 Nyatakan energi kinetik total dalam variabel dan parameter yang diberikan serta kecepatan sudut $\dot{\theta}$.

B3  ^0.60 Tentukan persamaan diferensial orde dua untuk sudut rotasi $\theta$.

Percepatan sudut $\ddot{\theta}$ pada saat balok dilepaskan dari posisi horizontal adalah:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 Pada keadaan awal horizontal dengan kecepatan awal nol, misalkan $T_{L1}, T_{L2}$ adalah besarnya gaya vertikal yang bekerja antara piringan kiri dengan batang atas dan bawah. Demikian pula, $T_{R1}, T_{R2}$ adalah besarnya gaya vertikal untuk piringan kanan. Tentukan nilai $(T_{L2} + T_{R1})$ dalam variabel dan parameter yang telah diberikan.

B5  ^0.60 Dengan asumsi bahwa semua komponen timbangan, termasuk batang dan piringan adalah benda tegar, pilihlah setiap gaya berikut yang dapat dihitung pada saat sistem dilepaskan: (Setiap pilihan yang salah akan dikenakan pengurangan 0.1 poin.)

1. $T_{R1}$
2. komponen gaya vertikal yang diberikan oleh poros pusat pada batang atas

Tulislah semua persamaan yang diperlukan untuk menyelesaikan soal ini. Anda hanya diminta untuk menuliskan persamaannya; perhitungan akhir secara eksplisit tidak diperlukan.

B6  ^0.60 $M_T$ adalah massa timbangan tanpa beban apa pun. Beban dengan massa $m_L$ dan $m_R$ ($m_L > m_R$) diletakkan pada masing-masing piringan kiri dan kanan. Seluruh sistem diletakkan di atas lantai. Batang timbangan awalnya ditahan horizontal, lalu dibiarkan bebas berotasi. Tentukan gaya normal $N$ lantai pada timbangan seketika setelah batang timbangan dibiarkan bebas berotasi.

C. Model Praktis Timbangan Roberval

Pada model dasar timbangan Roberval yang dibahas pada Bagian B, ketidakseimbangan massa menyebabkan percepatan sudut terus-menerus, sehingga tidak mungkin menentukan sudut kesetimbangan statis. Sebaliknya, timbangan Roberval praktis mencapai kesetimbangan yang stabil pada sudut kemiringan tertentu yang bergantung pada selisih massa. Pada Bagian C, kita akan menganalisis struktur fisik dari timbangan Roberval.

Untuk menghitung sudut keseimbangan sebagai fungsi dari perbedaan massa, pertimbangkan variabel dan parameter berikut:

• Batang Atas: Titik poros (sumbu putar tetap pada batang atas) terletak pada jarak vertikal $d$ tepat di atas pusat massa batang (batang atas memiliki ketebalan). Batang ini bermassa $M$ dan bermomen inersia $I_1$ terhadap porosnya (sumbu putar tetap pada batang atas).
• Batang Bawah: Titik poros (sumbu putar tetap pada batang bawah) bertepatan dengan pusat massa batang bawah. Batang ini memiliki momen inersia $I_2$ terhadap porosnya (sumbu putar tetap pada batang bawah).
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  : Massa gabungan dari piringan dan beban yang diletakkan di atas piringan untuk masing-masing sisi kiri dan kanan. (Harap perhatikan perbedaan notasi dengan bagian B.)
• $l$: Jarak horizontal dari garis tengah tegak lurus yang melalui poros pusat ke titik penopang piringan
• $g$: Percepatan gravitasi.

Anggap beban-beban tersebut tetap diam relatif terhadap dan bergerak bersamaan dengan piringan-piringannya. Poros putar piringan dan poros putar batang berada pada satu garis.

C1  ^1.40 Dengan dua beban bermassa berbeda yang diletakkan pada kedua piringan ($m_1>m_2$), batang timbangan awalnya ditahan pada posisi horizontal dan kemudian dilepaskan dari keadaan diam. Dalam situasi ini, persamaan diferensial orde dua gerak untuk sudut $\theta$ kemiringan berbentuk:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ .

Tentukan koefisien$A,B$ dan $C$ dalam variabel dan parameter yang diberikan. Gunakan $\theta = 0$ pada posisi horizontal.

C2  ^1.90 Ketika timbangan berada pada keadaan setimbangan ($\theta_0$), gangguan kecil akan menyebabkan lengan dan piringan timbangan berosilasi di sekitar sudut kesetimbangan. Untuk menganalisis osilasi kecil ini, kita mendefinisikan variabel baru $\eta = \theta - \theta_0$. Dengan melakukan aproksimasi terhadap persamaan gerak yang diperoleh pada Bagian C.1, tuliskan persamaan untuk $\eta$ dalam variabel dan parameter yang diberikan. Jawaban tidak boleh mengandung $\theta_0$.

C3  ^0.60 Jika massa $m_1+m_2$ totalnya konstan, tentukan bagaimana massa tersebut harus didistribusikan di antara kedua panci agar periode osilasinya menjadi maksimum. Hitung periode osilasi kecil tersebut untuk limit $m_1=m_2=0$.