日常生活中有各种测量物体质量的天平。本题探讨与梁式天平和罗伯瓦尔天平（Roberval balance）相关的物理原理。虽然这些天平看起来相似，但其结构略有不同，工作方式也有所差异。

支点处的微小摩擦力会使天平最终能够静止。然而，该摩擦力足够小，不会影响由力矩平衡决定的平衡角。因此，在计算中可以忽略摩擦力和空气阻力。

A. 梁式天平的灵敏度

梁式天平由一个绕固定轴（支点或轴心）旋转的横梁（杠杆臂）和悬挂在横梁两侧的两个质量相等的秤盘组成。如果放置在秤盘上的质量不同，横梁会向较重的一侧倾斜以达到平衡。

在横梁运动时，悬挂的秤盘可能会摆动。尽管由于这种摆动，由秤盘和物体组成的系统对横梁施加的力可能会随时间变化，如忽略摆动效应，该力可近似为秤盘和物体的总重力。

如果较小的质量差异也会引起横梁很大角度的倾斜，则认为该天平是高灵敏的。本题的 A 部分研究灵敏度问题。

假设横梁是一块厚度可忽略的平板。设 $O$ 为固定轴， $L$ 和 $R$ 分别为左、右秤盘的悬挂点。如图2所示，横梁的质心与点 $O$ 重合，旋转轴穿过 $O$ 且垂直于横梁。与梁式天平及其灵敏度相关的物理参数和变量如下：

• $b$：点$O$ 与点$ L$和点 $R$ 连线的垂直距离
• $l$：点$L$和点 $R$到通过点$O$的中垂线的距离
• $g$: 重力加速度。
• $M$: 梁的质量。
• $m_1$: 左侧托盘及其负载的总质量。
• $m_2$: 右侧托盘及其负载的总质量。

当 $m_1 > m_2$时，横梁逆时针倾斜角度 $\theta_0$达到平衡。

A1  ^0.30 当横梁从水平方向逆时针倾斜角度 $\theta$时，求左秤盘及其负载对 $O$ 点施加的力矩大小，以逆时针方向为正。

A2  ^0.30 当横梁从水平方向逆时针倾斜角度$\theta$时，求右秤盘及其负载（总质量为 $m_2$）施加的倾向于使横梁顺时针旋转的力矩。

A3  ^0.40 用给定的变量和参数表示平衡时的倾斜角$\theta_0$

A4  ^0.30

为了使天平更灵敏（即微小的质量差异产生更大的 $\theta_0$，以下关于 $b$和 $l$ 的条件哪一个是正确的？（选择错误选项将扣除 0.1 分。）

1. “更大的$l$”或“更大的$b$”会导致“更大的$ $$\mid\theta_0 \mid$”。
2. “更小的$l$”或“更小的$b$”会导致“更大的$ $$\mid\theta_0 \mid$”。
3. “更大的$l$”或“更小的$b$”会导致“更大的$ $$\mid\theta_0 \mid$”。
4. “更小的$l$”或“更大的$b$”会导致“更大的$ $$\mid\theta_0 \mid$”。

市售梁式天平的横梁通常设计为旋转轴（支点 $O$）高于横梁的质心（CM）。然而，这样制作的横梁会降低天平的灵敏度。为了解决这个问题并设计一个更灵敏的天平，可以改变横梁的结构。图3是一种候选方案，对横梁的设计进行修改，使横梁的支点$O$位于横梁质心的下方。设横梁的支点位于质心下方距离为 $d$ 的地方。假设横梁是一块厚度可忽略的平板。该天平的 $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$的含义与前一题相同。

A5  ^0.80 当横梁从水平方向倾斜角度 $\theta_1 (< \pi/2)$达到平衡时，用给定的变量和参数表示倾斜角 $\theta_1$。

A6  ^0.40 求出横梁能稳定平衡在倾角 $\theta_1 (< \pi/2)$ 的条件，用不含 $\theta_1$的不等式表示该条件。

B. 罗贝瓦尔天平的基本模型

罗伯瓦尔天平采用平行四边形连杆结构，其中两根水平横梁（上横梁和下横梁）通过端处四个铰接点与两根竖杆连接（每根竖杆分别固定一个秤盘）。这种特殊的连接使得：即使横梁倾斜，固定秤盘的竖杆也能保持完全竖直（图4）。随着横梁的旋转，两个秤盘会以同步的方式一起运动。这种设计最大优势是：只要两边重量相等，无论物体放在托盘的哪个位置，天平都能保持平衡。可能与该天平工作原理相关的物理参数、变量和符号定义如下（图5）：

• $O, O'$：分别对应两根水平横梁的固定转轴
• $ I_1$: 上横梁绕其转轴的转动惯量
• $I_2$: 下横梁绕其转轴的转动惯量
• $l$: 从中心转轴到竖杆铰接点的距离
• $x_L, x_R$：负载分别偏离左、右秤盘中心的水平距离
• $m$: 每个秤盘的质量
   
• $m_L, m_R$：分别放置在左、右秤盘上的负载质量 ($m_L \ge m_R$)
• $g$: 重力加速度。

假设每根横梁的质心与其转轴重合，且两根竖杆各自与横梁的铰接点和横梁的转轴位于同一条直线上。

B1  ^0.30 当横梁从水平方向逆时针倾斜角度 $\theta$ 时，计算系统的总势能 $U(\theta)$ （$m_L \ge m_R$），定义在初始水平位置时势能 $U$为零。

B2  ^0.50 用给定的变量、参数以及角速度 $\dot{\theta}$来表示系统的总动能。

B3  ^0.60 导出描述旋转角 $\theta$ 的二阶微分方程。

横梁从水平位置释放瞬间的角加速度$\ddot{\theta}$如下：

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 从水平位置，以初速度为零释放的瞬间，设 $T_{L1}, T_{L2}$分别为左秤盘与上、下横梁之间相互作用力的竖直分量大小。类似地，设 $T_{R1}, T_{R2}$为右秤盘对应的力的竖直分量大小。用给定的变量和参数计算 $(T_{L2} + T_{R1})$的值。

B5  ^0.60 假设天平的所有部件（包括横梁和秤盘）均为刚体，判断在释放瞬间是否可以计算出以下每个力。（每个空回答“Yes”、“No”或 留空 。每答错一题将扣除 0.1 分。）

1. $T_{R1}$
2. 中心转轴施加在上横梁上的力的竖直分量

列出解决此问题所需的所有必要方程。请注意，您只需要提供方程的形式，不需要进行详细的最终计算。

B6  ^0.60 设 $M_T$ 为不含任何负载时的天平质量。将质量为 $m_L$和 $m_R$（$m_L > m_R$）的负载分别放置在左、右秤盘上。最初用手将横梁保持在水平位置，然后释放。求释放后瞬间地面施加在天平上的支持力 $N$。

C. 罗伯瓦尔天平的实用模型

在 B 部分讨论的罗伯瓦尔天平基本模型中，质量不平衡会导致持续的角加速度，从而无法确定静态平衡角。相比之下，实用的罗伯瓦尔天平会根据质量差异在特定的倾斜角达到稳定平衡。在 C 部分中，我们分析这种实用罗伯瓦尔天平的物理结构。

为了计算作为质量差函数的平衡角，请考虑以下变量和参数：

• 上横梁：支点（横梁的固定轴）位于横梁质心正上方垂直距离$d$ 处。该横梁质量为 $M$，绕其支点（固定轴）的转动惯量为$I_1$。
• 下横梁：支点（横梁的固定轴）与横梁的质心重合。该横梁绕其支点（固定轴）的转动惯量为$I_2$。
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  分别为左侧和右侧的秤盘及其上放置的任何物体的组合质量。（请注意此处符号与 B 部分的区别。）
• $l$：竖直杆与横梁的铰接点到横梁中心转轴的距离
• $g$: 重力加速度。

假设砝码相对于秤盘保持静止并与它们一致运动，且竖直杆与横梁的铰接点和横梁中心转轴位于同一条直线上。

C1  ^1.40 将两个质量不同的负载放置在秤盘上（$m_1 > m_2$），最初将横梁保持在水平位置，然后从静止释放。在这种情况下，关于倾斜角 $\theta$的二阶运动微分方程形式为：

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ 。

用给定的变量和参数确定系数 $A,B$ 和$C$ 。设水平位置时的$\theta = 0$ 。

C2  ^1.90 当天平处于平衡状态（$\theta = \theta_0$）时，轻微的扰动会导致横梁和秤盘绕平衡角振荡。为了分析这种微小振荡，我们定义一个新变量 $\eta = \theta - \theta_0$。通过对 C.1 部分中获得的运动方程进行近似，导出用给定变量和参数表示的关于 $\eta$ 的控制方程。答案中不得包含 $\theta_0$。

C3  ^0.60 如果总质量 $m_1 + m_2$是常数，确定质量应如何在两个秤盘之间分配，才能使微小振荡的周期最大化。计算在$m_1 = m_2 = 0$的极限情况下微小振荡的周期。