일상생활에서는 물체의 질량을 측정하기 위해 다양한 저울이 사용된다. 이 문제는 양팔저울(beam balance)과 로베르발 저울(Roberval balance)과 관련된 물리적 원리를 다룬다. 두 저울은 외관이 비슷해 보이지만 구조가 약간 다르고, 동작 방식에도 차이가 있다.

본 문제에서는 받침점에 마찰이 존재하여 저울이 결국 정지 상태에 도달한다고 가정한다. 다만 그 크기는 충분히 작아서 돌림힘 평형에 의해 결정되는 이론적 평형각을 바꾸지 않을 정도라고 본다. 따라서 수치 계산 및 해석에서는 마찰과 공기 저항을 무시해도 좋다.

A. 양팔저울의 감도

양팔저울은 고정된 축(회전의 중심축, 받침점) 주위로 회전하는 보(beam, 지렛대 팔)와 그 양쪽에 매달린 동일 질량의 두 접시(pan)로 이루어진다. 두 접시에 놓인 질량이 다르면, 보는 무거운 쪽으로 기울어져 평형에 도달한다.

보가 움직이는 동안 매달린 접시는 좌우로 흔들릴 수 있다. 이 흔들림에 의해 접시–물체계가 보에 가하는 힘이 시간에 따라 달라질 수 있지만, 이 문제에서는 흔들림 효과를 무시한다.

작은 질량 차이에도 보가 큰 각도로 기울어지면 그 저울의 감도(sensitivity)가 높다고 한다. "A. 양팔저울의 감도"에서는 이러한 감도 문제를 다룬다.

보는 두께를 무시할 수 있을 정도로 얇고 평평한 판이라고 가정한다. 그림 2와 같이 고정점을 $O$, 왼쪽 및 오른쪽 접시가 매달리는 점을 각각 $L$,$R$이라 하자. 보의 질량중심은 그림 2와 같이 점 $O$와 일치한다. 회전축은 $O$를 지나며 보에 수직이다. 양팔저울과 그 감도와 관련된 물리적 파라미터 및 변수는 다음과 같다.

• $b$: $O$ 와 L과 R 을 잇는 직선 사이의 수직 거리
• $l$: $O$를 지나는 수직선으로부터 L 혹은 R 까지의 수평거리
• $g$: 중력 가속도
• $M$: 보의 질량
• $m_1$: 왼쪽 저울 접시와 그 위에 놓인 물체의 총 질량
• $m_2$: 오른쪽 접시와 그 위에 놓인 물체의 총 질량

$m_1 > m_2$이때, 보는 반시계 방향으로 $\theta_0$ 만큼 기울어져 평형에 도달한다.

A1  ^0.30 보가 수평으로부터 반시계 방향으로 각도 $\theta$ 만큼 기울었을 때, 왼쪽 저울 접시와 그 위에 놓인 물체가 O를 원점으로 가하는 돌림힘(토크)의 크기를 구하시오. 반시계 방향을 양의 방향으로 한다.

A2  ^0.30 보가 수평으로부터 반시계 방향으로 각도 $\theta$ 만큼 기울었을 때, 오른쪽 저울 접시와 그 위에 놓인 물체(총 질량 $m_2$)가 보를 시계 방향으로 회전시키려는 돌림힘(토크)을 구하라.

A3  ^0.40 평형에서의 기울기 각도 $\theta_0$ 를 주어진 변수와 파라미터로 나타내라.

A4  ^0.30

작은 질량 차이에도 큰 $\theta_0$ 를 갖도록(즉, 더 민감하도록) 만들기 위한 $b$ 와 $l$ 의 조건으로 옳은 것은? (오답 선택 시 0.1점 감점)

1. $ $$l$이 크거나 $b$가 크면 $\mid\theta_0\mid$이 더 커진다.
2. $l$이 작거나 $b$가 작으면 $\mid\theta_0\mid$이 더 커진다.
3. $l$이 크거나 $b$가 작으면 $\mid\theta_0\mid$이 더 커진다.
4. $l$이 작거나 $b$가 크면 $\mid\theta_0\mid$이 더 커진다.

시중에 판매되는 양팔저울의 보는 흔히 회전축(받침점 $O$)이 보의 질량중심(CM)보다 위에 위치하도록 만들어진다. 그러나 이러한 구조는 저울의 감도를 떨어뜨린다. 이 문제를 해결하고 보다 감도가 높은 저울을 설계하기 위해 보의 구조를 바꾸고자 한다. 그 한 가지 후보로, 그림 3과 같이 보의 받침점 $O$가 보의 질량중심(CM) 아래에 위치하도록 수정한다. 받침점 $O$는 질량중심(CM)으로부터 거리 $d$ 만큼 아래에 놓인다. 보는 두께를 무시할 만한 평평한 판으로 가정한다. $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ 의미는 앞 문제와 동일하다.

A5  ^0.80 보가 수평으로부터 각도 $\theta_1 (< \pi/2)$ 만큼 기울어져 평형에 도달할 때, 각도 $\theta_1$을 주어진 변수와 파라미터로 나타내라.

A6  ^0.40 보가 유한한 안정 평형 각도 $\theta_1 ( < \pi/2 )$에 도달하는 조건을 구하시오. 이 조건을 $\theta_1$에 의존하지 않는 부등식 형태로 구하라.

B. 로베르발 저울의 기본 모델

로베르발 저울은 평행 링크(parallel-linkage) 구조를 사용하며, 접시들이 두 개의 평행한 보(위쪽 보와 아래쪽 보)에 연결되어 있다. 두 보는 경첩 역할을 하는 받침점(pivot)을 통해 접시에 연결된다. 이러한 특수 연결 덕분에 보가 기울어져도 접시는 항상 지면과 평행을 유지한다 (그림 4). 보가 회전하면 두 접시도 함께 동기화되어 움직인다. 이 구조의 두드러진 특징은, 저울이 양쪽의 총 질량에만 의존하며 짐(질량, 추)이 접시 위 어느 위치에 놓이느냐는 영향을 주지 않는다는 점이다. 관련 물리량, 변수 및 표기는 다음과 같다(그림 5).

• $O, O'$: 두 평행한 보의 고정된 받침점
• $ I_1$: 위쪽 보의 회전축에 대한 위쪽 보의 관성모멘트
• $I_2$: 아래쪽 보의 회전축에 대한 아래쪽 보의 관성 모멘트
• $l$: 중앙 받침점에서 접시 매단 지점까지의 거리
• $x_L, x_R$: 왼쪽·오른쪽 접시 중심으로부터 짐까지 수평 변위
• $m$: 각 접시의 질량
  
   
• $m_L, m_R$:왼쪽·오른쪽 접시 위 짐의 질량 ($m_L \ge m_R$)
• $g$: 중력 가속도.

각 보의 질량 중심(CM)이 그 회전축과 일치한다고 가정하자. 접시들의 회전축과 보의 회전축이 한 직선상에 있다고 가정한다.

B1  ^0.30 보가 수평으로부터 반시계 방향으로 각도 $\theta$ 만큼 기울었을 때 ($m_L \ge m_R$ ), 계의 전체 퍼텐셜에너지 $U(\theta)$를 구하라. 초기 수평 위치에서 $U$= 0으로 정의한다.

B2  ^0.50 계의 총 운동에너지를 주어진 변수, 파라미터, 각속도 $\dot{\theta}$로 나타내라.

B3  ^0.60 회전각 $\theta$에 대한 2차(second-order ) 미분방정식을 구하라.

수평 위치에서 보를 놓는 순간의 각가속도 $\ddot{\theta}$는 다음과 같다:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 위 순간(초기 속도 = 0)에 왼쪽 접시와 위쪽/아래쪽 보 사이에 작용하는 힘의 수직 성분의 크기를 각각 $T_{L1}, T_{L2}$이라고 하자. 오른쪽 접시에 대해서도 유사하게 $T_{R1}, T_{R2}$이라고 하자. $(T_{L2} + T_{R1})$ 의 값을 주어진 변수와 파라미터로 구하라.

B5  ^0.60 저울의 모든 구성 요소(보, 접시 등)가 강체(rigid body)라고 가정할 때, 놓는 순간에 계산할 수 있는 양을 모두 고르라. (예, 아니오, 또는 공란으로 답하라. 오답 선택 시 항목당 0.1점 감점)

1. $T_{R1}$
2. 중앙 받침점(Pivot)이 위쪽 보에 가하는 힘

이 문제 풀이에 필요한 관계식을 모두 세워라. 식의 형태만 제시하면 되며, 최종적인 명시적 계산은 요구하지 않는다.

B6  ^0.60 저울에 추를 올리지 않았을 때의 질량을 $M_T$라고 하자. 질량이 $m_L$ 와$m_R$ ($m_L > m_R$)인 추를 각각 저울의 왼쪽 접시와 오른쪽 접시에 올려놓는다. 처음에는 손으로 저울대를 수평으로 유지하다가 손을 뗀다. 손을 뗀 직후 바닥이 저울에 가하는 수직력 $N$을 구하시오.

C. 로베르발 저울의 실제 모델

B part에서 다룬 로베르발 저울의 기본 모델에서는 질량 불균형으로 인해 지속적인 각가속도가 발생하므로, 정적 평형각을 구할 수 없다. 반면, 실제 사용되는 로베르발 저울은 질량 차이에 따라 특정 기울기 각도에서 안정된 평형 상태에 도달한다. C part에서는 이러한 실제 로베르발 저울의 물리적 구조를 분석한다.

질량 차에 따른 평형각을 계산하기 위해 다음 변수와 파라미터를 도입한다:

• 위쪽 보: 회전점(보의 고정 회전축)은 보의 질량중심으로부터 수직 위로 거리 $d$만큼 떨어져 있다. 보의 질량은 $M$ , 받침점(고정축)에 대한 관성모멘트는 $I_1$이다.
• 아래쪽 보: 회전점(보의 고정 회전축)이 보의 질량중심과 일치한다. 받침점에 대한 관성모멘트는 $I_2$ 이다.
• $m_1,m_2$$$ ($m_1\ge m_2$) $$$$
  왼쪽·오른쪽 각각의 접시와 그 위 짐을 합친 질량 (B part와 표기가 다름에 유의)
• $l$: 중앙 받침점을 지나는 수직 이등분선으로부터 접시 매단 지점까지의 수평거리
• $g$: 중력 가속도.

짐은 접시에 대해 정지해 있으며, 접시와 함께 움직인다고 가정하고, 접시들의 회전축과 추의 회전축이 한 직선상에 있다고 가정한다.

C1  ^1.40 질량이 서로 다른 두 개의 추를 저울 접시에 올려놓은 상태에서 ( $m_L > m_R$) , 저울의 보(beam)는 처음에 수평 위치에 고정되어 있다가 정지 상태에서 놓아진다. 이 상황에서 기울기 각도 $\theta$에 대한 2차 미분 방정식은 다음과 같은 형태를 띤다:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ .

주어진 변수와 매개변수를 사용하여 계수 $A,B$ 와 $C$ 를 구하시오. 수평 위치를 $\theta = 0$로 잡는다.

C2  ^1.90 저울이 평형 상태($\theta_0$)에 있을 때, 미세한 교란이 가해지면 추와 접시가 평형 각도를 중심으로 진동하게 된다. 이 미세한 진동을 분석하기 위해 새로운 변수 $\eta = \theta - \theta_0$ 를 정의한다. C.1절에서 도출한 운동 방정식을 근사하여, 주어진 변수와 매개변수를 사용하여 $\eta$에 관한 방정식을 도출하라. 답에 $\theta_0$를 포함해서는 안 된다.

C3  ^0.60 총 질량 ($m_1 + m_2$)이 일정할 때, 미소 진동의 주기를 최대화하려면 양쪽 접시에 질량을 어떻게 분배해야 하는지 결정하라. 또한 $m_1 = m_2 = 0$인 극한에서 미소 진동의 주기를 계산하라.