تُستخدم في الحياة اليومية موازين متنوعة لقياس كتلة الأجسام. يتناول هذا السؤال المبادئ الفيزيائية المتعلقة بميزان الذراع (beam balance)، وميزان روبرفال (Roberval balance). مع أن هذين الميزانين يبدوان متشابهين، إلا أنهما يختلفان في التصميم وآلية العمل.

في هذا السؤال نفترض أن الاحتكاك الضئيل عند المحاور يسمح للميزان بالاستقرار في النهاية. ومع ذلك، فإن هذا الاحتكاك ضئيل بما يكفي بحيث لا يؤثر على زاوية التوازن. لذلك، يمكن إهمال الاحتكاك ومقاومة الهواء في الحسابات.

أ. حساسية ميزان الذراع

يتكون ميزان الذراع من ذراع يدور حول محور ثابت (محور دوران أو نقطة ارتكاز) و كفتين متساويتين في الكتلة معلقتين على جانبي الذراع. إذا اختلفت الكتل الموضوعة على الكفتين، يميل الذراع نحو الجانب الأثقل إلى أن يصل إلى حالة التوازن.

أثناء حركة الذراع، قد تتأرجح الكفتان المعلقتان. على الرغم من أن القوة التي يمارسها النظام المكون من الكفة والجسم على الذراع قد تختلف بمرور الوقت بسبب هذا التأرجح. فإننا سنتجاهل أثر التأرجح ونقرب القوة إلى الوزن الإجمالي للكفة والجسم الذي عليها.

يكون الميزان حساسا إذا مال الذراع بزاوية كبيرة مع فرق بسيط في الكتلة. يبحث الجزء (أ) من السؤال مسألة الحساسية.

نفترض أن الذراع عبارة عن لوح مسطح بسماكة لا تكاد تذكر. لنفترض أن $O$ هي النقطة الثابتة و $L$و$R$ هما النقطتان اللتان تُعلَّق فيهما الكفتان اليمنى واليسرى، على التوالي. يتطابق مركز كتلة الذراع مع النقطة$O$ ، كما في الشكل 2. يمر محور الدوران عبر$O$ ويكون عموديًا على الذراع. فيما يلي الكميات والمتغيرات الفيزيائية التي قد تتعلق بميزان الذراع وحساسيته.

• $b$: المسافة الرأسية بين $O$ والخط الذي يربط بين $L$ و $R$
• $l$: المسافة الأفقية من المنصف العمودي المار بنقطة$O$ إلى النقطتين$L$ و $R$
• $g$: تسارع الجاذبية
• $M$: كتلة الذراع
• $m_1$: الكتلة الكلية للكفة اليسرى وحمولتها
• $m_2$: الكتلة الكلية للكفة اليمنى وحمولتها

عندما تكون $m_1 > m_2$ يميل الذراع عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية $\theta_0$ لتصل إلى حالة التوازن.

A1  ^0.30 إذا مال الذراع بزاوية $\theta$ عكس اتجاه عقارب الساعة، أوجد مقدار عزم الدوران حول النقطة O الذي يولده الوعاء الأيسر وحمله، مع اعتبار الاتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة موجبًا.

A2  ^0.30 إذا مال الذراع بزاوية $\theta$ عكس اتجاه عقارب الساعة، أوجد عزم الدوران الذي تمارسه الكفة اليمنى وحمولتها (الكتلة الإجمالية $m_2$) والذي يعمل على تدوير العارضة في اتجاه عقارب الساعة.

A3  ^0.40 عبّر عن زاويةالميل $\theta_0$ عند حالة التوازن باستخدام المتغيرات والمعطيات المحددة.

A4  ^0.30

لجعل الميزان أكثر حساسية (أي إظهار فرق أكبر $\theta_0$ في القراءة عند وجود فرق بسيط في الكتلة)، أي من الشروط التالية الخاصة بـ$b$ و$l$ هو الصحيح؟ (سيؤدي اختيار الخيار غير الصحيح إلى خصم 0.1 نقطة.)

1. $ $زيادة $l$ أو زيادة $b$ تؤدي إلى زيادة $\mid\theta_0 \mid$.
2. نقصان $l$ أو نقصان $b$ تؤدي إلى زيادة $\mid\theta_0 \mid$.
3. $ $زيادة $l$ أو نقصان $b$ تؤدي إلى زيادة $\mid\theta_0 \mid$.
4. $ $نقصان $l$ أو زيادة $b$ تؤدي إلى زيادة $\mid\theta_0 \mid$.

غالبًا ما يتم تصنيع ذراع الميزان بمحور دوران (نقطة المحور $O$) أعلى من مركز الكتلة (CM) للذراع. ومع ذلك، فإن تصنيع الذراع بهذه الطريقة يقلل من حساسية الميزان. لحل هذه المشكلة وتصميم ميزان أكثر حساسية، سنغير تصميم الذراع. كخيار محتمل، تم تصميم ذراع بحيث تكون نقطة المحور ($O$) أسفل مركز كتلته (CM) كما هو موضح في الشكل 3. لنفترض أن نقطة المحور تقع على مسافة $d$ أسفل مركز الكتلة. يُفترض أن الذراع عبارة عن لوح مسطح بسماكة لا تُذكر. القيم $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ للميزان هي نفسها كما في المسألة السابقة.

A5  ^0.80 عندما يميل الذراع بزاوية$\theta_1 (< \pi/2)$ حتى يصل إلى حالة التوازن، عبّر عن $\theta_1$ بدلالة المتغيرات المعطاة.

A6  ^0.40 حدد الشرط الذي يتحقق عنده وجود زاوية توازن ثابتة $\theta_1 ( < \pi/2 )$. عبّر عن هذا الشرط في صورة متباينة مستقلة عن$\theta_1$.

ب. النموذج الأساسي لميزان روبرفال (Roberval Balance)

يستخدم ميزان روبرفال تصميما مبنيا على التركيب المتوازي المفصلي (parallel-linkage structure)، حيث ترتبط الكفتين بذراعين أفقيين (علوي وسفلي). ويرتبط هذان الذراعان بالكفتين بواسطة محاور تعمل كالمفصلات. ويتيح هذا الارتباط للكفتين البقاء في وضع عمودي تماماً حتى عند ميل الذراعين (الشكل 4). وعندما يدور الذراعان، تتحرك الكفتين معاً بشكل متزامن. ومن السمات الفريدة لهذا التصميم أن الميزان يعتمد فقط على الكتلة الإجمالية على كل جانب؛ ولا يهم المكان الذي تضع فيه الأوزان على الكفتين. وفيما يلي الكميات الفيزيائية والمتغيرات والرموز التي قد تتعلق بميزان الذراع (الشكل 5).

• $O, O'$: محاور ثابتة للذراعين الأفقيتين
• $ I_1$: عزم القصور للذراع العلوي حول محور دورانه
• $I_2$: عزم القصور للذراع السفلي حول محور دورانه
• $l$: المسافة من المحور إلى نقطة تعليق الكفة
• $x_L, x_R$: الإزاحة الأفقية للأوزان عن مركز الكفة اليمنى والكفة اليسرى، على التوالي.
• $m$: وزن كل كفة
   
• $m_L, m_R$:كتلة الحمولة الموضوعة على الكفتين اليمنى واليسرى، على التوالي. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: التسارع الجاذبي.

افترض أن مركز الكتلة (CM) لكل ذراع يتطابق مع محور الدوران، وأن محوري دوران الكفتين ومحور دوران الذراع تقع على خط واحد.

B1  ^0.30 احسب إجمالي الطاقة الكامنة للنظام$U(\theta)$، عندما يميل الذراع عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية $\theta$ عن الوضع الأفقي ($m_L \ge m_R$). افترض أن الطاقة الكامنة $U$ تساوي صفرًا في الوضع الأفقي.

B2  ^0.50 عبّر عن إجمالي الطاقة الحركية للنظام باستخدام المتغيرات والمعطيات سابقة الذكر والسرعة الزاوية $\dot{\theta}$.

B3  ^0.60 أوجد المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية التي تصف زاوية الدوران $\theta$.

التسارع الزاوي $\ddot{\theta}$ في اللحظة التي يُطلق فيها العارضة من الوضع الأفقي هو كما يلي:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 في اللحظة التي تكون فيها السرعة الابتدائية صفرًا، لنفترض أن $T_{L1}, T_{L2}$ هي مقدار القوى المؤثرة بين الكفة اليسرى والذراعين العلوي والسفلي، على التوالي. وبالمثل، لنفترض أن $T_{R1}, T_{R2}$ هي مقدار القوى المؤثرة بين الكفة اليمنى والذراعين العلوي والسفلي، على التوالي. احسب قيم $(T_{L2} + T_{R1})$ بالاستعانة بالمتغيرات والمعلمات المعطاة.

B5  ^0.60 بافتراض أن جميع مكونات الميزان، بما في ذلك الذراعان والكفتين، هي أجسام صلدة (rigid bodies)، حدد ما إذا كان من الممكن حساب كل قوة من القوى التالية في لحظة الإفلات. (أجب بـ «نعم» أو «لا» أو اترك الفراغ خاليًا لكل سؤال. سيتم خصم 0.1 نقطة عن كل إجابة خاطئة.)

1. $T_{R1}$
2. القوة التي يبذلها محور الدوران على الذراع العلوي

ضع جميع المعادلات اللازمة لحل هذه المسألة. لاحظ أنه يُطلب منك فقط كتابة صيغ المعادلات؛ ولا داعي لإجراء الحسابات النهائية.

B6  ^0.60 لنفترض أن $M_T$ هي كتلة الميزان بدون أي أوزان. توضع أوزان بكتلتي$m_L$ و$m_R$($m_L > m_R$) على كفتي الميزان الأيمن والأيسر على التوالي. يُمسك الذراع يدويًّا في البداية في وضع أفقي ثم يُترك. أوجد القوة العمودية $N$ التي تؤثر بها الأرض على الميزان عند لحظة تركه.

ج. النموذج العملي لميزان روبرفال

في النموذج الأساسي لميزان روبرفال الذي تمت مناقشته في الجزء ب، يؤدي عدم التوازن في الكتلة إلى تسارع زاوي مستمر، مما يجعل من المستحيل تحديد زاوية توازن ثابتة. وعلى النقيض من ذلك، يصل ميزان روبرفال العملي إلى حالة توازن مستقرة عند زاوية ميل محددة تعتمد على فرق الكتلة. في الجزء ج، نحلل البنية الفيزيائية لموازين روبرفال هذه.

لحساب زاوية التوازن كدالة لفرق الكتلة، ضع في اعتبارك المتغيرات والكميات التالية:

• الذراع العلوي: محور الدوران يقع على مسافة $d$ رأسية مباشرة فوق مركز كتلة الذراع. وتبلغ كتلة الذراع $M$ وعزم القصور حول محورها $I_1$.
• الذراع السفلي: محور الدوران يقع في مركز كتلة الذراع. وعزم القصور حول محورها $I_2$.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  : الكتلة الإجمالية الكفة وأي أجسام موضوعة عليها، لكل من الجانبين الأيمن والأيسر على التوالي.
  
  (يرجى ملاحظة الاختلاف في طريقة الترميز عن الجزء ب.)
• $l$: المسافة الأفقية من المنصف العمودي الذي يمر عبر المحور المركزي إلى نقطة تعليق الكفة
• $g$: تسارع الجاذبية.

يُفترض أن الأوزان تظل ثابتة بالنسبة للكفتين وتتحرك بالتزامن معها، وأن محاور الكفتين ومحور الذراع تقع على خط واحد.

C1  ^1.40 عند وضع وزنَين مختلفي الكتلة على كفتي الميزان ($m_1 > m_2$)، يُمسك الذراع في البداية في وضع أفقي ثم يُطلق من حالة السكون. في هذه الحالة، تأخذ معادلة الحركة التفاضلية من الدرجة الثانية لزاوية$\theta$ الميل الشكل التالي:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ .

حدد المعاملات $C\:و\:B\:و\:A$ بدلالة المتغيرات والكميات المعطاة. افترض$\theta = 0$ في الوضع الأفقي.

C2  ^1.90 عندما يكون الميزان في حالة التوازن ($\theta = \theta_0$)، يؤدي أي اضطراب طفيف إلى اهتزاز الأذرع والكفتين حول زاوية التوازن. لتحليل هذاه الاهتزازة الصغيرة، نُعرِّف متغيرًا جديدًا $\eta = \theta - \theta_0$. وباستخدام تقريب معادلة الحركة التي تم الحصول عليها في الجزء ج.1، اشتق المعادلة التي تصف $\eta$ بدلالة المتغيرات والكميات المعطاة. يجب ألا تتضمن الإجابة $\theta_0$.

C3  ^0.60 إذا كانت الكتلة $m_1 + m_2$ الإجمالية ثابتة، فحدد كيف ينبغي توزيع الكتلة بين الكفتين للحصول على أقصى زمن دوري للاهتزازة الصغيرة. واحسب الزمن الدوري في الحالة التي يكون فيها $m_1 = m_2 = 0$.