מאזניים מסוגים שונים משמשים אותנו בחיי היומיום. שאלה זו תעסוק בעקרונות הפיזיקליים הקשורים בשני סוגי מאזניים, מאזני כפות (המאזניים הקלאסיים) ומאזני רוֹבֶּרְוָאל (Roberval). למרות שמאזניים אלו נראים דומים, יש להם מבנים שונים במעט והם מתנהגים בצורה שונה.

נניח כי מעט חיכוך בצירי הסיבוב מאפשר למאזניים לעצור לבסוף. עם זאת, נניח שחיכוך זה קטן דיו כך שאינו משפיע על זווית שיווי המשקל שמחושבת באופן תאורטי מאיזון המומנטים. תוכלו לכן להזניח בחישובים את החיכוך ואת התנגדות האוויר.

חלק A - הרגישות של מאזני כפות

מאזני כפות מורכבים מקורה (המשמשת כמעין זרוע מנוף) המסתובבת סביב ציר קבוע ושתי כפות שוות מסה התלויות משני צדי הקורה. כאשר המסות המונחות על הכפות אינן שוות, הקורה נוטה לכיוון הצד הכבד יותר עד שהיא מגיעה לשיווי משקל.

במהלך תנועת הקורה, הכפות התלויות עשויות להתנדנד. למרות שהכוח שמופעל על ידי הכף והעצם על הקורה עלול להשתנות לאורך זמן בעקבות ההתנדנדות, נניח בקירוב שהכוח שווה למשקל הכללי של הכף והעצם ונתעלם מהתנודות.

אם הקורה נוטה בזווית גדולה עבור הפרש מסות קטן בין הכפות, המשקל נחשב לרגיש. חלק A של השאלה בוחן את נושא הרגישות.

נתייחס לקורה כלוח שטוח שעוביו זניח. נסמן ב-$O$ את נקודת ציר הסיבוב המקובע, וב-$L$ ו-$R$ את הנקודות על הקורה שמהן תלויות הכף השמאלית והכף הימנית בהתאמה. מרכז המסה של הקורה מתלכד עם הנקודה $O$, כפי שמוצג בתרשים 2. ציר הסיבוב עובר דרך $O$ ומאונך לקורה. הפרמטרים והמשתנים הפיזיקליים שעשויים להיות קשורים למאזני הכפות ולרגישותם הם כדלקמן:

• $b$: המרחק האנכי בין $O$ לבין הישר המחבר את $L$ עם $R$
• $l$: המרחק האופקי בין הניצב העובר דרך $O$ לבין הנקודות $L$ ו-$R$
• $g$: תאוצת הכובד
• $M$: מסת הקורה
• $m_1$: המסה הכוללת של הכף השמאלית וכל מה שמונח עליה
• $m_2$: המסה הכוללת של הכף הימנית וכל מה שמונח עליה

כאשר $m_1 > m_2$, הקורה נוטה בזווית $\theta_0$ נגד כיוון השעון כדי להגיע לשיווי משקל.

A1  ^0.30 כאשר הקורה נוטה בזווית $\theta$ נגד כיוון השעון ביחס למצב האופקי, מצאו את גודל מומנט הכוח סביב $O$ המופעל על ידי הכף השמאלית ומה שמונח עליה (מסה כוללת$m_1$), כאשר נסמן סיבוב נגד כיוון השעון כחיובי.

A2  ^0.30 כאשר הקורה נוטה בזווית $\theta$ נגד כיוון השעון ביחס למצב האופקי, מצאו את מומנט הכוח המופעל על ידי הכף הימנית ומה שמונח עליה (מסה כוללת $m_2$) המסובב את הקורה עם כיוון השעון.

A3  ^0.40 הביעו את זווית הנטייה $\theta_0$ במצב שבו המערכת נמצאת בשיווי משקל בעזרת המשתנים והפרמטרים הנתונים.

A4  ^0.30

כדי להגביר את הרגישות של המאזניים (ערך גדול יותר של $\theta_0$ עבור הפרש מסה קטן נתון), איזה מהתנאים הבאים עבור $b$ ו-$l$ נכון?

(בחירה באפשרות שגויה תגרום להפחתה של 0.1 נקודות.)

1. להגדיל את $l$ או להגדיל את $b$ מגדיל את $\mid\theta_0 \mid$
2. להקטין את $l$ או להקטין את $b$ מגדיל את $\mid\theta_0 \mid$
3. להגדיל את $l$ או להקטין את $b$ מגדיל את $\mid\theta_0 \mid$
4. להקטין את $l$ או להגדיל את $b$ מגדיל את $\mid\theta_0 \mid$

הקורה של מאזני כפות מסחריים מיוצרת לעיתים קרובות כך שציר הסיבוב (הנקודה $O$) נמצא גבוה יותר ממרכז המסה (CM) של הקורה. עם זאת, ייצור הקורה באופן זה מפחית את רגישות מאזני הקורה. כדי לפתור בעיה זו ולתכנן מאזניים רגישים יותר, ברצוננו לשנות את מבנה הקורה. נבחן קורה שבה ציר הסיבוב של הקורה ($O$) נמצא מתחת למרכז המסה שלה (CM) כפי שמוצג בתרשים 3. נניח שנקודת ציר הסיבוב של הקורה ממוקמת במרחק $d$ מתחת למרכז המסה. הקורה היא לוח שטוח שעוביו זניח. ההגדרות של $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ עבור המאזניים זהות להגדרות בבעיה הקודמת.

A5  ^0.80 בשיווי משקל, הקורה נוטה בזווית $\theta_1 (< \pi/2)$ ביחס לכיוון האופקי. בטאו את $\theta_1$ במונחי המשתנים והפרמטרים הנתונים.

A6  ^0.40 מצאו את התנאי לכך שהקורה תגיע לשיווי משקל יציב ובטאו אותו כאי-שוויון שאינו תלוי בזווית שיווי המשקל $\theta_1$.

חלק B - מודל בסיסי למאזני רוברוואל

מאזני רוברוואל משתמשים במנגנון דמוי מקבילית, שבו הכפות מחוברות לשתי קורות אופקיות (עליונה ותחתונה). שתי הקורות מחוברות אל הכפות באמצעות צירי סיבוב, הפועלים כמו מפרקים. חיבור מיוחד זה מאפשר למחברים האנכיים להישאר מאונכים לחלוטין גם כאשר הקורות נוטות (תרשים 4). כאשר הקורות מסתובבות סביב צירן, הכפות נעות יחד באופן מתואם. מאפיין ייחודי של עיצוב זה הוא שהאיזון תלוי רק במסה הכוללת בכל צד; אין שום חשיבות למקום על הכפות שבו מניחים את המשקולות שמודדים. הפרמטרים הפיזיקליים, המשתנים והסימונים שעשויים להיות קשורים למאזני הכפות הם כדלקמן: (תרשים 5)

• $O, O'$: צירי סיבוב קבועים עבור שתי הקורות האופקיות
• $ I_1$: מומנט ההתמד של הקורה העליונה סביב ציר הסיבוב שלה
• $I_2$: מומנט ההתמד של הקורה התחתונה סביב ציר הסיבוב שלה
• $l$: המרחק מציר הסיבוב המרכזי אל נקודות התלייה של הכפות
• $x_L, x_R$: ההיסטים האופקיים של המשקולות ממרכזי הכף השמאלית והכף הימנית, בהתאמה
• $m$: המסה של כל כף
• $m_L, m_R$ המסה המונחת על הכף השמאלית והכף הימנית, בהתאמה
  ($m_L \ge m_R$)
• $g$: תאוצת הכובד

נניח שמרכז המסה (CM) של כל קורה מתלכד עם ציר הסיבוב שלה ושצירי הסיבוב של הכפות וציר הסיבוב של הקורה נמצאים על קו ישר אחד.

B1  ^0.30 חשבו את האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של המערכת $U(\theta)$, כאשר הקורה נוטה נגד כיוון השעון בזווית $\theta$ ביחס לאופק ($m_L \ge m_R$). הגדירו את האנרגיה הפוטנציאלית $U$ להיות אפס במצב האופקי ההתחלתי.

B2  ^0.50 בטאו את האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת במונחי המשתנים והפרמטרים הנתונים והמהירות הזוויתית $\dot{\theta}$.

B3  ^0.60 מצאו את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני המתארת את התנהגות זווית הסיבוב $\theta$.

התאוצה הזוויתית $\ddot{\theta}$ ברגע שבו הקורה משוחררת מן המצב האופקי היא:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 ברגע שבו משחררים את הקורה (עם מהירות התחלתית אפס), נסמן ב-$T_{L1}$ וב-$T_{L2}$ את גדלי הרכיבים האנכיים של הכוחות הפועלים בין הכף השמאלית לבין הקורה העליונה והקורה התחתונה, בהתאמה. באופן דומה, נסמן ב-$T_{R1}$ וב-$T_{R2}$ את גדלי הרכיבים האנכיים של הכוחות עבור הכף הימנית. חשבו את הערך של$(T_{L2} + T_{R1})$ במונחי המשתנים והפרמטרים הנתונים.

B5  ^0.60 בהנחה שכל רכיבי המאזניים, לרבות הקורות והכפות, הם גופים קשיחים, קבעו עבור כל אחד מן הכוחות הבאים האם ניתן לחשב אותו ברגע השחרור. (ענו “Yes”, או “No”, או השאירו ריק עבור כל סעיף, יופחתו 0.1 נקודות עבור כל תשובה שגויה.)

1. $T_{R1}$
2. הרכיב האנכי של הכוח שמפעיל ציר הסיבוב המרכזי על הקורה העליונה

כתבו את כל המשוואות המקשרות בין הנתונים הדרושים למציאת גדלים אלו. שימו לב שעליכם לספק רק את המשוואות עצמן; אין צורך לחשב את הגדלים הסופיים.

B6  ^0.60 נסמן ב-$M_T$ את מסת המאזניים ללא משקולות. משקולות שמסתן $m_L$ ו-$m_R$ ($m_L > m_R$) מונחות על הכף השמאלית והכף הימנית, בהתאמה. בתחילה הקורה מוחזקת ידנית במצב אופקי, ולאחר מכן משוחררת. מצאו את הכוח הנורמלי $N$ שמפעילה הרצפה על המאזניים מיד לאחר השחרור.

חלק C - מודל ריאלי של מאזני רוברוואל

במודל הבסיסי של מאזני רוברוואל מחלק ב, חוסר איזון במסות גורם לתאוצה זוויתית מתמשכת, ולכן אי אפשר למצוא את זווית שיווי המשקל הסטטי. לעומת זאת, בפועל מאזני רוברוואל מגיעים לשיווי משקל יציב בזווית נטייה מסוימת, התלויה בהפרש המסות. בחלק C ננתח את המבנה הפיזיקלי של מאזני רוברוואל בעזרת מודל ריאלי יותר.

כדי לחשב את זווית שיווי המשקל כפונקציה של הפרש המסות, נתייחס למשתנים ולפרמטרים הבאים:

• קורה עליונה: נקודת ציר הסיבוב (הקורה מסתובבת סביב נקודה קבועה זו) ממוקמת במרחק אנכי $d$ ישירות מעל מרכז המסה של הקורה. לקורה מסה $M$ ומומנט התמד $I_1$ סביב נקודת ציר הסיבוב שלה (הציר הקבוע).
• קורה תחתונה: נקודת ציר הסיבוב (הקורה מסתובבת סביב נקודה קבועה זו) מתלכדת עם מרכז המסה של הקורה. לקורה מומנט התמד $I_2$ סביב נקודת ציר הסיבוב שלה (הציר הקבוע).
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$): המסות המשולבות של הכף ושל כל העצמים המונחים עליהן בצד שמאל ($m_1$) ובצד ימין ($m_2$).
  (שימו לב להבדל בסימון לעומת חלק B.)
• $l$: המרחק האופקי בין האנך האמצעי העובר דרך ציר הסיבוב המרכזי לבין נקודת התלייה של הכפות.
• $g$: תאוצת הכובד

מניחים שהמשקולות נשארות נייחות ביחס לכפות ונעות יחד איתן ושצירי הסיבוב של הכפות וציר הסיבוב של הקורה נמצאים על ישר אחד.

C1  ^1.40 מניחים שתי משקולות בעלות מסות שונות על הכפות ($m_1 > m_2$), מחזיקים את הקורה בתחילה במצב אופקי ולאחר מכן משחררים אותה ממנוחה. במצב זה, משוואת התנועה עבור זווית הנטייה $\theta$ היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני מהצורה הבאה:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$

מצאו את המקדמים $A,B$ ו-$C$ במונחי המשתנים והפרמטרים הנתונים. סמנו ש-$\theta = 0$ במצב אופקי.

C2  ^1.90 כאשר המאזניים נמצאים במצב שיווי המשקל שלהם $\theta = \theta_0$, הפרעה קטנה גורמת לקורות ולכפות להתנדנד סביב $\theta_0$. כדי לנתח תנודות קטנות אלה, נגדיר משתנה חדש $\eta = \theta - \theta_0$. על ידי קירוב משוואת התנועה שהתקבלה ב-C.1, מצאו וכתבו את המשוואה שמתארת את ההתנהגות של $\eta$ במונחי המשתנים והפרמטרים הנתונים. לתשובה אסור לכלול את $\theta_0$.

C3  ^0.60 אם המסה הכוללת $m_1 + m_2$ קבועה, קבעו כיצד יש לחלק את המסה בין הכפות כדי למקסם את זמן המחזור של התנודות הקטנות. חשבו את זמן המחזור של התנודות הקטנות בגבול שבו $m_1 = m_2 = 0$.