日常生活では、物体の質量を測定するためにさまざまな天秤が使われています。この問題は、てこ式天秤とロベルバル天秤に関連する物理的原理について問うものです。これらの天秤は見た目は似ていますが、構造がわずかに異なり、動作も異なります。

この問題では、天秤が最終的に静止状態に達するように、支点に摩擦が存在すると仮定しています。ただし、その大きさは、トルクの平衡によって決定される理論上の平衡角度に影響を与えないほど小さいものとみなされます。したがって、数値計算や解析においては、摩擦や空気抵抗を無視して構いません。

日常生活では、物体の質量を測定するためにさまざまな天秤が使われています。この問題は、てこ式天秤とロベルバル天秤に関連する物理的原理について問うものです。これらの天秤は見た目は似ていますが、構造がわずかに異なり、動作も異なります。

この問題では、天秤が最終的に静止状態に達するように、支点に摩擦が存在すると仮定しています。ただし、その大きさは、トルクの平衡によって決定される理論上の平衡角度に影響を与えないほど小さいものとみなされます。したがって、数値計算や解析においては、摩擦や空気抵抗を無視して構いません。

A. ビーム天秤の感度

天秤は、固定された軸（支点）を中心に回転する梁（てこ腕）と、その両端に吊り下げられた等質量の2つの皿から構成されています。皿に載せられた質量が異なると、天秤は平衡状態に達するために、重い側に向かって傾きます。

梁が動く間、吊り下げられた天秤皿は揺れることがある。この揺れにより、天秤皿と物体が梁に及ぼす力は時間とともに変化する可能性があるが、ここでは揺れの影響を無視し、その力を天秤皿と物体の総重量として近似する。

質量の差がわずかであってもビームが大きく傾く場合、その天秤は感度が高いとみなされます。この問題のA項では、感度について問われています。

この梁は、厚さが無視できる平板であると仮定する。$O$を固定点とし、 また、$L$ および $R$ を、それぞれ梁の左右の端が支持されている点とする。図2に示すように、梁の重心は点 $O$ と一致する。回転軸は $O$ を通過し、梁に対して垂直である。梁の平衡およびその感度に関連しうる物理的パラメータおよび変数は以下の通りである。

• $b$：$O$ と、$L$ および $R$ を結ぶ線との間の垂直距離
• $l$：$O$を通る中点線から、点$L$および$R$までの水平距離
• $g$: 重力加速度の大きさ
   
• $m_1$: 左側の天秤皿とその積載物の総質量
   
• $m_2$: 右側の天秤皿とその積載物の総質量
   

$m_1 > m_2$のとき、梁は平衡状態に達するために、角度 $\theta_0$だけ反時計回りに傾く。

A1  ^0.30 梁が水平面に対して反時計回りに角度 $\theta$ だけ傾いたとき、 左側の受け皿とその荷重（総質量 $m_1$）によって、梁を反時計回りに回転させようとするトルクを求めよ。

A2  ^0.30 梁が水平面に対して反時計回りに角度 $\theta$ だけ傾いたとき、 右側の受け皿とその荷重（総質量 $m_2$）によって、梁を時計回りに回転させようとするトルクを求めよ。

A3  ^0.40 平衡状態における傾斜角 $\theta_0$ を、与えられた変数およびパラメータを用いて表しなさい。

A4  ^0.30

はかりの感度を高める（質量の差が小さい場合に$\theta_0$の値が大きくなる）ためには、$b\) および $l$ に関する以下の条件のうち、正しいものはどれか？（誤った選択肢を選んだ場合、0.1点減点となる。）

1. 大きい $l$ または、大きい $b$ にすることで、より大きな$ $$\mid\theta_0 \mid$になります。
2. 小さい $l$ または小さい $b\) にすることで、より大きな$\mid\theta_0\mid$
   
   になります
3. 大きい $l$ または小さい $b\) にすることで、より大きな $\mid\theta_0\mid$ になります。
4. 小さい $l$ または大きい $b\) にすることで、より大きな $\mid\theta_0\mid$ になります。

市販の天秤の天秤棒は、多くの場合、回転軸（支点 $O$）が天秤棒の重心（CM）よりも高い位置になるように作られています。しかし、このように天秤棒を作ると、天秤の感度が低下してしまいます。この問題を解決し、より感度の高い天秤を設計するために、梁の構造を変更することを検討している。その候補として、図3に示すように、梁の支点（$O$）が梁の重心（CM）より下になるように梁を設計する。梁の支点を、重心の下方に距離 $d$ だけ配置する。梁は、厚さを無視できる平板であると仮定する。スケールにおける $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ の意味は、前の問題と同じである。

A5  ^0.80 梁が水平面から角度 $\theta_1 (< \pi/2)$ だけ傾いて平衡状態に達する場合、その傾き角度 $\theta_1$ を、与えられた変数とパラメータを用いて表しなさい。

A6  ^0.40 $\theta_1$に依存しない不等式の形で、安定平衡の条件を導き出せ。

B. ロベルバル天秤の基本モデル

ロベルヴァル天秤は平行リンク機構を採用しており、皿は2本の水平な梁（上梁と下梁）に接続されています。これら2本の梁は、蝶番のように機能する支点によって皿と連結されています。この特殊な連結構造により、梁が傾いても皿は完全に垂直な状態を保つことができます（図4）。梁が回転すると、皿もそれと同期して一斉に動きます。この設計のユニークな特徴は、天秤が各側の総質量のみに依存しており、皿のどこに重りを置いても結果が変わらない点です。このビーム天秤に関連する物理的パラメータ、変数、および記号は以下の通りです（図5）。

• $O, O'$: 2本の水平梁の固定された支点
   
• $ I_1$: 上部梁の回転軸に対する慣性モーメント
   
• $I_2$: 下部梁の回転軸に対する慣性モーメント
   
• $I(=I_1+I_2) $: 2本の梁の総慣性モーメント
   
• $l$：中央のピボットからパンサスペンションポイントまでの距離
   
• $x_L, x_R$: 左右のパンの中央からのウェイトの水平方向のオフセット。
   
• $m$: 各パンの質量
  
   
   
• $m_L, m_R$：左右の皿にそれぞれ載せられた荷重の質量。（$m_L \ge m_R$）
   
• $g$: 重力加速度の大きさ。
   

各ビームの重心（CM）がその支点と一致すると仮定する。

B1  ^0.30 梁が水平面に対して反時計回りに角度 $\theta$ だけ傾いたとき、系 $U(\theta)$ の総位置エネルギーを求めよ ($m_L \ge m_R$)。初期の水平位置において、位置エネルギー $U$ をゼロと定義する。

B2  ^0.50 与えられた変数およびパラメータ、ならびに角速度 $\dot{\theta}$ を用いて、系の総運動エネルギーを表しなさい。

B3  ^0.60 回転角 $\theta$ を支配する二階微分方程式を導出せよ。

ビームが水平位置から解放された瞬間の角加速度 $\ddot{\theta}$ は、以下の通りである：

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 ここで、左側の鍋と上下の梁との間にそれぞれ作用する力の大きさを、$T_{L1}, T_{L2}$とする。同様に、右側のパンに対する力の大きさをそれぞれ $T_{R1}, T_{R2}$ と置く。与えられた変数およびパラメータを用いて、$(T_{L2} + T_{R1})$の値を求めよ。

B5  ^0.60 天秤の梁や皿を含むすべての構成要素が剛体であると仮定し、放した瞬間に計算可能なすべての量をすべて選びなさい。（誤った選択肢を1つ選ぶごとに0.1点の減点となる。）

1. $T_{R1}$
2. 中央ピボットが上部ビームに及ぼす力

この問題を解くために必要なすべての関係式を立てなさい。なお、式そのものを示すだけでよく、最終的な計算結果を明示する必要はありません。

B6  ^0.60 $M_T$を、おもりがない状態での天秤の質量とする。質量が $m_L$ および $m_R$ ($m_L > m_R$)の質量を持つおもりが、それぞれ天秤の左右の皿に載せられている。天秤は最初、手で水平に保たれており、その後放される。放した直後、床が天秤に及ぼす反力 $N$ を求めてください。

C. ロベルバル天秤の実用モデル

パートBで論じたロベルバル天秤の基本モデルでは、質量の不均衡により連続的な角加速度が生じるため、静的平衡角を決定することは不可能である。これに対し、実用的なロベルバル天秤は、質量差に応じて特定の傾斜角で安定した平衡状態に達する。パートCでは、このような実用的なロベルバル天秤の物理的構造について分析する。

質量差の関数としての平衡角を計算するために、以下の変数およびパラメータを考慮する：

• 上部梁：支点（梁の固定軸）は、梁の重心から真上に$d$の垂直距離に位置する。この梁の質量は $M$、回旋軸（固定軸）周りの慣性モーメントは $I_1$ である。
   
• 下部梁：支点（梁の固定軸）は、梁の重心と一致する。この梁は、その支点（固定軸）を軸として、慣性モーメント $I_2$ を持つ。
   
• $I(=I_1 +I_2 )$：両梁の合計慣性モーメント
   
• $m_L, m_R$$$ ($m_L \ge m_R$)
  : 左右それぞれについて、鍋とそこに置かれた物体の合計質量。
  
  (パートBとの表記の違いにご注意ください。)
   
• $l$：中心軸を通る垂直二等分線からパン（パンタグラフ）の吊り下げ点までの水平距離
   
• $g$: 重力加速度の大きさ。
   

重りは天秤の皿に対して固定されたままであり、皿と一体となって動くものと仮定する。

C1  ^1.40 質量の異なる2つの重りを皿（$m_L > m_R$）に載せ、天秤を最初に水平な位置に保持してから静止状態から解放する。この状況において、 傾斜角 $\theta$ に関する2次運動微分方程式は、次の形をとる：

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ 。

係数 $A,B$ および $C$を、与えられた変数およびパラメータを用いて求めよ。$\theta = 0$を水平位置に設定せよ。

C2  ^1.90 天秤が平衡状態（$\theta_0$）にあるとき、わずかな外乱によって、梁と皿が平衡角度を中心に振動する。この微小な振動を解析するために、新しい変数 $\eta = \theta - \theta_0$ を定義する。パート C.1 で求めた運動方程式を近似し、与えられた変数およびパラメータを用いて $\eta$ の支配方程式を導出せよ。解答には、$\theta_0$を含めてはならない。

C3  ^0.60 総質量 $m_L + m_R$ が一定であるとき、微小振動の周期を最大にするために、天秤の皿間に質量をどのように配分すべきかを求めよ。$m_L = m_R = 0$となる極限において、微小振動の周期を求めよ。