Бид аливаа биетийн массыг хэмжих зориулалттай янз бүрийн жинлүүрийг өдөр тутамдаа ашигладаг. Энэхүү бодлогоор хөндлөвч-жинлүүр, тухайлбал Робервалийн жинлүүрийн физик зарчмуудыг судална. Эдгээр жинлүүрүүд хоорондоо ижилхэн мэт харагдах боловч бүтэц болон ажиллах зарчмаараа бага зэрэг ялгаатай.

Эргэлтийн тэнхлэг дэх бага үрэлтээс болж жинлүүр эцэстээ зогсдог боловч, энэ бодлогод хүчний моментийн балансаас тэнцвэрийн өнцгийг бодож олоход уг үрэлтийн хүчийг тооцохооргүй бага гэж үзнэ. Өөрөөр хэлбэл үрэлт болон агаарын эсэргүүцлийн хүчийг тооцохгүй.

A. Хөндлөвч-жинлүүрийн мэдрэг чанар

Хөндлөвч-жинлүүр гэдэг нь бэхлэгдсэн тэнхлэгийг (нугасыг) тойрон чөлөөтэй эргэх боломжтой хөндлөвч (хөшүүрэг) болон уг хөндлөвчийн хоёр талд зүүсэн тавагнуудаас бүрдэнэ. Хэрэв эдгээр тавагнууд дээр байрлуулсан ачааны масс ялгаатай байвал хөндлөвч нь хүнд тал руу нь хазайж, тэнцвэрт ордог.

Хөндлөвч хөдлөх явцад, түүнд зүүсэн тавагнууд нь савлах боломжтой. Энэхүү савлалтаас болж таваг болон түүн дээр байрлуулсан ачааны зүгээс хөндлөвчид үйлчлэх хүч хувьсан өөрчлөгдөх боломжтой хэдий ч, энэ савлалтын нөлөөг тооцохгүй буюу уг хүчийг зөвхөн таваг болон түүн дээр байрлуулсан ачааны нийлбэр жинтэй тэнцүү гэж ойролцоолно.

Ачаануудын массын зөрүү бага байсан ч хөндлөвчийн хазайлт их байвал уг жинлүүрийг мэдрэг чанар сайтай гэж үздэг. Бодлогын А хэсэгт энэхүү мэдрэмтгий чанарыг судлах болно.

Хөндлөвчийн зузааныг тооцохооргүй бага буюу нимгэн хавтас гэж үзнэ. Бэхлэгдсэн тэнхлэгийг $O$ цэгээр, зүүн ба баруун тавгуудыг зүүсэн цэгүүдийг харгалзан $L$ ба $R$-ээр тэмдэглэе.

• $b$: $O$ цэгээс $L$ ба $R$-ийг холбосон шулуун хүртэлх зай
• $l$: $O$ цэгийг дайрсан босоо тэнхлэгээс (перпендикуляр дундаж шугамаас) $L$ ба $R$ цэгүүд хүртэлх зай
• $g$: хүндийн хүчний хурдатгал
• $M$: Хөндлөвчийн масс
• $m_1$: Зүүн талын таваг болоод түүн дээр байрлуулсан ачааны нийлбэр масс
• $m_2$: Баруун талын таваг болоод түүн дээр байрлуулсан ачааны нийлбэр масс

$m_1 > m_2$ нөхцөлд, хөндлөвч цагийн зүүний эсрэг чиглэлд $\theta_0$ өнцгөөр хазайгаад, тэнцвэрт ордог гэе.

A1  ^0.30 Хөндлөвч хэвтээ тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг $\theta$ өнцгөөр хазайх үед зүүн талын таваг болоод түүн дээр байрлуулсан ачааны зүгээс үйлчлэх хүчний моментийг $O$ цэгтэй харьцангуйгаар ол (цагийн зүүний эсрэг эргэх чиглэлийг эерэг гэж ав).

A2  ^0.30 Хөндлөвч хэвтээ тэнхлэгээс цагийн зүүний эсрэг $\theta$ өнцгөөр хазайх үед баруун талын таваг болоод түүн дээр байрлуулсан ачааны (нийт $m_2$ масстай) зүгээс үйлчлэх хүчний моментийг мөн ол. Энэ нь цагийн зүүний дагуу эргүүлэх чиглэлтэй байхыг анхаар.

A3  ^0.40 Тэнцвэр тогтох хазайлтын өнцөг $\theta_0$-г өгөгдсөн параметрүүдээр илэрхийл.

A4  ^0.30

Жинлүүрийг илүү мэдрэг болгохын тулд (массын багахан зөрүүнд ч $\theta_0$ өнцгийн утга их байхаар), доорх $b$ ба $l$ -ийн нөхцлүүдээс аль нь зөв бэ? (Буруу сонголт хийвэл 0.1 оноогоор торгоно.)

1. $l$-ийг ихэсгэх эсвэл $b$-г ихэсгэх нь $\mid\theta_0 \mid$-ийн утгыг их болгоно.
2. $l$-ийг багасгах эсвэл $b$-г багасгах нь $\mid\theta_0 \mid$-ийн утгыг их болгоно.
3. $l$-ийг ихэсгэх эсвэл $b$-г багасгах нь $\mid\theta_0 \mid$-ийн утгыг их болгоно.
4. $l$-ийг багасгах эсвэл $b$-г ихэсгэх нь $\mid\theta_0 \mid$-ийн утгыг их болгоно.

Өргөн хэрэглээний хөндлөвч-жинлүүрийг үйлдвэрлэхдээ эргэлтийн цэгийг ($O$ тулгуурыг) нь түүний (CM) массын төвөөс дээш байрлаж байхаар үйлдвэрлэдэг. Гэвч хөндлөвчийг ингэж хийх нь түүний мэдрэг чанарыг бууруулдаг. Энэ асуудлыг шийдэж, илүү мэдрэг жинлүүр бүтээхийн тулд, хөндлөвчийн бүтцийг эсрэгээр нь сонгож авъя. Тухайлбал зураг 3-т дүрсэлсэн шиг эргэлтийн ($O$ тулгуур) цэг нь (CM) массын төвийнхөө доор байрладаг загвар сонгоё. Эргэлтийн цэг нь массын төвөөсөө доош $d$ зайд байрлана. Хөндлөвчийг тооцохооргүй бага зузаантай, нимгэн хавтас гэж үзнэ. $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ нь өмнөх дасгалд тодорхойлсонтой ижил утгатай.

A5  ^0.80 Хөндлөвч хэвтээ тэнхлэгээс $\theta_1 (< \pi/2)$ өнцгөөр хазайх үед тэнцвэрт ордог гэвэл, уг $\theta_1$ өнцгийг өгөгдсөн болон шинээр тодорхойлогдсон параметрүүдээр илэрхийл.

A6  ^0.40 Хөндлөвч $\theta_1 ( < \pi/2 )$ өнцгөөр хазайсан үедээ тогтвортой тэнцвэрт оршдог байх нөхцлийг тодорхойл. Уг нөхцлөө тэнцэтгэл биш хэлбэртэй бич ($\theta_1$-ийг оролцуулалгүйгээр).

B. Робервалийн жинлүүрийн энгийн загвар

Робервалийн жинлүүрт параллель-холболттой бүтэц ашиглагддаг. Тодруулбал (дээд ба доод гэх) хоёр хөндлөвчийг хооронд нь, хос босоо тулгуур ашиглан нугасан холболтоор холбодог. Ингэснээр эдгээр тулгуурууд нь үргэлж босоо байрлалтай байх бөгөөд, тус бүрт нь тавагнуудыг хөдөлгөөнгүй тогтоосон байдаг (Зураг 4). Хөндлөвчүүд эргэх үед, тавагнууд ч мөн зэрэгцэн хөдөлдөг. Энэхүү загварын онцлог нь, жинлүүрт тэнцвэр тогтох эсэх зөвхөн хоёр талын нийт массаас хамаардагт оршино; ө.х. таваг дээрх ачаануудын байрлалаас үл хамаарна. Энэхүү жинлүүрт хамаарах физик параметрүүд, хувьсагчид болон тэмдэглэгээнүүдийг дараах байдлаар ойлгоно (Зураг 5).

• $O, O'$: Хөндлөвч тус бүрийн бэхлэгдсэн эргэлтийн тэнхлэгүүд
• $ I_1$: Дээд хөндлөвчийн эргэлтийнх нь тэнхлэгтэй харьцангуй инерцийн момент
• $I_2$: Доод хөндлөвчийн эргэлтийнх нь тэнхлэгтэй харьцангуй инерцийн момент
• $l$: Тавагнуудыг тогтоосон цэгээс гол тулгуур хүртэлх зай
• $x_L, x_R$: Зүүн ба баруун талын таваг дээр байрлуулсан ачааны, тавагныхаа төвөөс холдсон хэвтээ зай.
• $m$: Тулгуур болон түүнд тогтоосон тавагны нийлбэр масс
• $m_L, m_R$: Зүүн ба баруун талын таваг дээр байрлуулсан нэмэлт ачааны масс. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: Хүндийн хүчний хурдатгал

Хөндлөвч бүрийн массын төв (CM) нь эргэлтийн тэнхлэгтэйгээ давхцсан гэж үз. Хөндлөвчийн эргэлтийн цэг болон таваг тогтсоон тулгууруудын эргэлтийн нугаснууд нэг шулуун дээр байрлана гэж үз.

B1  ^0.30 Хөндлөвч хэвтээ тэнхлэгээс, цагийн зүүний эсрэг $\theta$ өнцгөөр хазайх үед, системийн нийт потенциал энерги $U(\theta)$ ямар байхыг тодорхойл ($m_L \ge m_R$). Хөндлөвчүүдийг хэвтээ байрлалтай байх үед $U$ потенциал энерги тэгтэй тэнцүү байхаар сонгож ав.

B2  ^0.50 Системийн нийт кинетик энергийг өгөгдсөн параметрүүд болон $\dot{\theta}$ өнцөг хурдыг ашиглан илэрхийл.

B3  ^0.60 $\theta$ эргэлтийн өнцгийн хувьд, хоёрдугаар-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг бич.

Хөндлөвчийг хэвтээ чигтэй барьж байгаад сул тавих агшинд, түүний өнцөг хурдатгал $\ddot{\theta}$ нь доор өгөгдсөнтэй тэнцүү байна:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 Анхны хурд нь тэгтэй тэнцүү байхаар сул тависан энэхүү агшинд, зүүн тулгуураас дээд болон доод талын хөндлөвчтэй харилцан үйлчлэх хүчний босоо байгуулагчуудын хэмжээг харгалзан $T_{L1}, T_{L2}$-оор тус тус тэмдэглэе. Дээрхтэй төстэйгөөр, баруун тулгуураас мөн дээд болон доод талын хөндлөвчид үйлчлэх хүчний босоо байгуулагчуудын хэмжээг харгалзан $T_{R1}, T_{R2}$-оор тэмдэглэе. $(T_{L2} + T_{R1})$-ийн илэрхийллийг өгөгдсөн параметрүүдээр илэрхийл.

B5  ^0.60 Жинлүүрийн бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг, тухайлбал хөндлөвчүүд, тулгууруудыг тавагных нь хамт хатуу бие гэж үзвэл, доорх хүчнүүдээс альнийх нь утгыг сул тавих агшинд бүрэн тодорхойлох боломжтой вэ? (Хариулахдаа сонголт бүрийн ард "Тийм", "Үгүй" гэж бич эсвэл хоосон орхи. Буруу хариулт бүрт 0.1 оноо хасна.)

1. $T_{R1}$
2. Голын тулгуураас дээд талын хөндлөвчид үйлчлэх хүчний босоо байгуулагч

Энэ дасгалын хариуг гаргахад шаардлагатай бүх боломжит харилцан хамааралын тэгшитгэлүүдийг бич. Тэгшитгэлүүдээ бичээд орхиход л хангалттай, цааш нь үргэлжлүүлэн нарийвчилж бодох шаардлагагүй.

B6  ^0.60 Ямар ч нэмэлт ачаагүй жинлүүрийн нийт массыг $M_T$ гэе. Зүүн ба баруун таваг дээр харгалзан $m_L$ ба $m_R$ масстай ($m_L > m_R$) ачаа байрлуулав. Анх хөндлөвчийг хэвтээ байрлалд барьж байгаад, сул тавив. Сулласан даруйд шалнаас жинлүүрт үзүүлэх $N$ реакцийн хүчийг ол.

C. Робервалийн жинлүүрийн практик загвар

B хэсэгт судалсан Робервалийн энгийн жинлүүрийн загварт, массын зөрүүнээс үүдэлтэйгээр үргэлжилсэн өнцөг хурдатгалтай хөдлөх ёстой болдог ба ингэснээр тонтонги тэнцвэрийн өнцөг гарган авах боломжгүй байдаг. Харин үүнтэй харьцуулахад, Робервалийн жинлүүрийн практик загварт, массын зөрүүнээс хамаараад тодорхой өнцгөөр хазайх үед тогтвортой тэнцвэрт хүрэх боломжтой байдаг. C хэсэгт, энэхүү практик Робервалийн жинлүүрийн физик бүтцийг судлах болно.

Тэнцвэрийн өнцгийг массын зөрүүнээс хамаарсан функц хэлбэртэйгээр тооцоолохын тулд дараах хувьсагчид болон параметрүүдийг авч үзнэ:

• Дээд хөндлөвч: Эргэлтийн цэг (хөндлөвчийн бэхлэгдсэн тэнхлэг) нь массын төвөөсөө эгц босоо чиглэлд, $d$ зайд байрлана. Хөндлөвчийн масс нь $M$ бөгөөд эргэлтийнх нь тэнхлэгтэй харьцангуй инерцийн момент нь $I_1$.
• Доод хөндлөвч: Эргэлтийн цэг (хөндлөвчийн бэхлэгдсэн тэнхлэг) нь массын төвтэйгөө давхцдаг. Эргэлтийн тэнхлэгтэйгээ харьцангуй $I_2$ инерцийн моменттой.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  : Харгалзан зүүн ба баруун талын тулгуур, тэдгээрт бэхлэгдсэн таваг болоод дээр нь байрлуулсан аливаа ачааны нийлбэр массыг тус тус илэрхийлнэ.
  
  (B хэсэгт ашиглаж байсан тэмдэглэгээгээс ялгаатай байгааг анхаарна уу.)
• $l$: Хөндлөвч хэвтээ байх үед, тавагнуудыг бэхэлсэн цэгүүдээс гол тулгуур хүртэлх зай.
• $g$: Хүндийн хүчний хурдасгал

Дээр нь байрлуулсан ачаанууд нь тавагтайгаа харьцангуй хөдөлгөөнгүй-стационар байх буюу хамтдаа хөдөлнө гэж үз. Мөн хөндлөвчийн эргэлтийн цэг болон таваг тогтсоон тулгууруудын эргэлтийн нугаснууд нэг шулуун дээр байрлана гэж үз.

C1  ^1.40 Анх хөндлөвчийг хэвтээ чиглэлтэй барьж байгаад, тавагнууд дээр нь хоёр өөр масстай ачаа байрлуулж ($m_1 > m_2$), тайван байдлаас сул тавив. Энэ тохиолдолд хазайлтын $\theta$ өнцгийн хувьд хоёрдугаар-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл дараах хэлбэртэй бичигдэнэ:


$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$

$A,B$ ба $C$ коэффициентүүдийг өгөгдсөн параметрүүдээр илэрхийл. Хэвтээ байрлалд харгалзах өнцгийг $\theta = 0$ гэж авна.

C2  ^1.90 Жинлүүр тогтвортой тэнцвэрт орших үед нь ($\theta = \theta_0$) бага зэрэг нэмж хазайлгавал, тухайн тэнцвэрийнхээ өнцгийн орчимд хэлбэлзэх хөдөлгөөн хийнэ. Энэ бага хэлбэлзлийг судлахын тулд $\eta = \theta - \theta_0$ гэсэн шинэ хувьсагч оруулж ирье. C.1 даалгаварт гаргаж авсан тэгшитгэл дээрээ ойролцоолол ашиглан, $\eta$-ийн хувьд хөдөлгөөний тэгшитгэлийг зөвхөн өгөгдсөн параметрүүдийг ашиглан бич. Тодруулбал тэгшитгэлд чинь $\theta_0$ оролцсон байж болохгүй.

C3  ^0.60 Хэрэв нийт масс $m_1 + m_2$-ийг тогтмол байлгаад, бага хэлбэлзлийн үеийг хамгийн их болгоё гэвэл таваг дээрх ачаануудыг хэрхэн байрлуулах шаардлагатай вэ? $m_1 = m_2 = 0$ хязгаарын нөхцөлд бага хэлбэлзлийн үе ямар байхыг тодорхойл.