Günlük yaşamda nesnelerin kütlesini ölçmek için çeşitli teraziler kullanılır. Bu soru, kirişli(çubuklu) terazi ve Roberval terazisiyle ilgili fiziksel ilkeler hakkındadır. Bu teraziler birbirine benzemekle birlikte, yapıları biraz farklıdır ve farklı şekilde çalışırlar.

Pivotlardaki küçük sürtünmenin, terazinin en sonunda durgun hale gelmesini sağladığını varsayıyoruz. Ancak bu sürtünme, tork dengesinden belirlenen denge açısını etkilemeyecek kadar küçüktür. Bu nedenle, hesaplamalarda sürtünme ve hava direnci ihmal edilebilir.

A. Çubuklu Terazinin Hassasiyeti

Bir kantar(çubuklu terazi), sabit bir eksen (dönme ekseni veya dayanak noktası) etrafında dönen bir çubuk (kaldıraç kolu) ile çubuğun her iki ucuna asılı eşit kütleli iki kefeden oluşur. Kefelere yerleştirilen kütleler farklıysa, çubuk dengeye ulaşmak için daha ağır olan tarafa doğru eğilir.

Çubuğun hareketi sırasında, asılı kefeler sallanabilir. Kefe ve çubuk üzerindeki nesneden oluşan sistemin uyguladığı kuvvet, bu sallanma nedeniyle zamanla değişebilir, ancak sallanma etkisini göz ardı ederek kuvveti, kefe ve nesnenin toplam ağırlığı olarak yaklaşık olarak alıyoruz.

Küçük bir kütle farkı için bile çubuk büyük bir açıyla eğilirse, terazi hassas kabul edilir. Sorunun A bölümü hassasiyet konusunu incelemektedir.

Çubuğun, kalınlığı ihmal edilebilir düzeyde olan düz bir levha olduğu varsayılır. $O$ sabit nokta, ve $R$ ve $L$ ise sırasıyla sol ve sağ kefelerin asılı olduğu noktalar olsun. Çubuğun kütle merkezi, Şekil 2'de olduğu gibi noktasıyla $O$ çakışır. Dönme ekseni $O$ noktasından geçer ve çubuğa diktir. Çubuklu terazi ve hassasiyeti ile ilişkili olabilecek fiziksel parametreler ve değişkenler şunlardır.

• $b$: $L$ ve $R$ yi birleştiren doğru ile $O$ noktası arasındaki dikey mesafedir
• $l$: $O$noktasından geçen dik orta doğrudan $L$ ve $R$ noktalarına olan yatay uzaklık
• $g$: yerçekimi ivmesi
• $M$: çubuğun kütlesi
• $m_1$: Sol kefenin ve içindeki yükün toplam kütlesi
• $m_2$: Sağ kefenin ve içindeki yükün toplam kütlesi

$m_1 > m_2$ olduğunda, çubuk dengeye ulaşmak için saat yönünün tersine $\theta_0$ açısı kadar eğilir.

A1  ^0.30 Çubuk yatay düzlemden saat yönünün tersine bir $\theta$ açısı ile eğildiğinde, çubuğu saat yönünün tersine döndürmeye çalışan sol kefe ve üzerindeki yükün O noktasına göre uyguladığı torkun büyüklüğünü bulunuz, saat yönünün tersini pozitif kabul ediniz.

A2  ^0.30 Çubuk yatay düzlemden saat yönünün tersine bir $\theta$ açısı ile eğildiğinde, çubuğu saat yönünün tersine döndürmeye çalışan sol kefe ve üzerindeki yükün (toplam kütle $m_2$) uyguladığı torku bulunuz.

A3  ^0.40 Denge durumundaki $\theta_0$ eğim açısını, verilen değişkenler ve parametreler kullanılarak ifade edin.

A4  ^0.30

Teraziyi daha hassas hale getirmek için (küçük bir kütle farkı için daha büyük bir $\theta_0$ değeri), $l$ ve $b$ için aşağıdaki koşullardan hangisi doğrudur? (Yanlış bir seçenek seçilmesi durumunda 0,1 puan düşülür.)

1. $ $Daha büyük $l$ veya daha büyük $b$ olması; daha büyük bir $\mid\theta_0 \mid$ 'a yol açar.
2. Daha küçük $l$ veya daha küçük $b$ olması, daha büyük bir $\mid\theta_0\mid$ 'a yol açar.
3. Daha büyük $l$ veya daha küçük $b$ olması, daha büyük bir $\mid\theta_0\mid$ 'a yol açar.
4. Daha küçük $l$ veya daha büyük $b$ olması; daha büyük bir $\mid\theta_0\mid$ 'a yol açar.

Piyasada satılan çubuklu terazilerin çubukları genellikle, dönme ekseni (pivot noktası $O$) çubuğun kütle merkezinden (CM) daha yüksekte olacak şekilde tasarlanır. Ancak çubuğun bu şekilde tasarlanması, çubuklu terazinin hassasiyetini düşürür. Bu sorunu çözmek ve daha hassas bir terazi tasarlamak amacıyla, çubuğun yapısını değiştirmeyi planlıyoruz. Aday olarak, çubuk, Şekil 3'te gösterildiği gibi çubuğun pivot noktası ($O$), çubuğun kütle merkezinin (CM) altında olacak şekilde değiştirilerek tasarlanmıştır. Çubuğun pivot noktasının kütle merkezinin $d$ kadar altında bir mesafede konumlandırıldığını varsayalım. Çubuğun, kalınlığı ihmal edilebilir düzeyde olan düz bir levha olduğu varsayılmaktadır. Tartı için $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ değerlerinin anlamları önceki problemdekiyle aynıdır.

A5  ^0.80 Çubuk, denge durumuna ulaşmak için yataydan $\theta_1 (< \pi/2)$ açısı kadar eğildiğinde, bu $\theta_1$ eğim açısını verilen değişkenler ve parametreler kullanılarak ifade edin.

A6  ^0.40 Çubuğun bir kararlı denge açısına $\theta_1 ( < \pi/2 )$ ulaşması için gereken koşulu elde ediniz. Koşulu $\theta_1$’den bağımsız bir eşitsizlik olarak ifade ediniz.

B. Roberval Terazisinin Temel Modeli

Roberval terazisi, kefelerin iki yatay çubuğa (üst ve alt) bağlandığı bir paralel bağlantı yapısı kullanır. Bu iki çubuk, menteşe görevi gören pivotlar aracılığıyla kefelere bağlanmıştır. Bu özel bağlantı, çubuklar eğildiğinde bile iki pivotun her bir kefesinin tamamen dikey kalmasını sağlar (Şekil 4). Çubuklar döndükçe, kefeler senkronize bir şekilde birlikte hareket eder. Bu tasarımın benzersiz bir özelliği, dengenin sadece her bir taraftaki toplam kütleye bağlı olmasıdır; ağırlıkların kefelere nereye yerleştirildiğinin bir önemi yoktur. Çubuk terazisiyle ilgili olabilecek fiziksel parametreler, değişkenler ve gösterimler aşağıdaki gibidir (Şekil 5).

• $O, O'$: İki yatay çubuk için sabit pivotlar
• $ I_1$: Üst çubuğun dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti
• $I_2$: Alt çubuğun dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti
• $l$: Merkez pivot ile kefenin askı noktası arasındaki mesafe
• $x_L, x_R$: Ağırlıkların sırasıyla sol ve sağ kefelerin merkezinden yatay olarak kaydırılma mesafeleri.
• $m$: Her bir kefenin ağırlığı
  
   
• $m_L, m_R$: Sol ve sağ kefelere yerleştirilen yüklerin kütleleri. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: Yerçekimi ivmesi.

Her bir çubuğun kütle merkezinin (CM) kendi dönme ekseniyle çakıştığını ve kefelerin pivotları ile çubuğun pivotunun aynı doğru üzerinde bulunduğunu varsayınız.

B1  ^0.30 Çubuk yatay düzlemden saat yönünün tersine bir $\theta$ açı kadar eğildiğinde, sistemin toplam $U(\theta)$ potansiyel enerjisini hesaplayınız ($m_L \ge m_R$). $U$ potansiyel enerjisinin, başlangıçtaki yatay konumda sıfır olduğunu varsayınız.

B2  ^0.50 Sistemin toplam kinetik enerjisini, verilen değişkenler ve parametreler ve $\dot{\theta}$ açısal hızı kullanarak ifade edin.

B3  ^0.60 Dönme $\theta$ açısını belirleyen ikinci dereceden diferansiyel denklemi bulun.

Çubuğun yatay konumdan serbest bırakıldığı anda $\ddot{\theta}$ açısal ivmesi şu şekildedir:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 Sıfır başlangıç hızı olan şu anda, sol kefe ile üst ve alt çubuklar arasında etkiyen kuvvetlerin dikey bileşenlerinin büyüklüklerini sırasıyla $T_{L1}, T_{L2}$ olarak alalım . Benzer şekilde, sağ kefe için kuvvetlerin dikey bileşenlerinin büyüklüklerini $T_{R1}, T_{R2}$ olarak alalım. $(T_{L2} + T_{R1})$ değerlerini verilen değişkenler ve parametreler cinsinden hesaplayınız.

B5  ^0.60 Terazinin çubuklar ve kefeler dahil tüm bileşenlerinin katı cisimler olduğu varsayıldığında, aşağıdaki kuvvetlerin her birinin serbest bırakılma anında hesaplanıp hesaplanamayacağını belirleyiniz. (Her biri için Evet, Hayır veya boş cevap veriniz. Her yanlış cevap için 0,1 puan ceza uygulanacaktır.)

1. $T_{R1}$
2. Merkez pivotun üst çubuğa uyguladığı kuvvetin dikey bileşeni

Bu problemi çözmek için gerekli tüm ilişkisel denklemleri kurun. Yalnızca denklemlerin formlarını vermeniz gerektiğini unutmayın; kesin sonuç hesaplamaları gerekli değildir.

B6  ^0.60 Terazinin üzerinde herhangi bir ağırlık bulunmadığında kütlesi $M_T$ olsun. $m_L$ ve $m_R$ ($m_L > m_R$) ağırlıkları sırasıyla terazinin sol ve sağ kefelerine yerleştirilir. Terazinin kolu başlangıçta elle yatay konumda tutulur ve ardından bırakılır. Terazinin bırakılmasından hemen sonra zeminin teraziye uyguladığı $N$ normal kuvvetini bulun.

C. Roberval Terazisinin Uygulamalı(Pratik) Modeli

B partında ele alınan temel Roberval terazisi modelinde, kütle dengesizliği sürekli bir açısal ivmeye neden olur ve bu da statik denge açısının belirlenmesini imkansız kılar. Buna karşın, pratik bir Roberval terazisi, kütle farkına bağlı olarak belirli bir eğim açısında kararlı bir dengeye ulaşır. C bölümünde, bu tür pratik Roberval terazilerinin fiziksel yapısını inceliyoruz.

Denge açısını kütle farkının bir fonksiyonu olarak hesaplamak için aşağıdaki değişkenleri ve parametreleri dikkate alın:

• Üst çubuk: Dönüm noktası (çubuğu sabit ekseni), çubuğun kütle merkezinin tam üzerinde dikey bir $d$ mesafede yer alır. Çubuk $M$ kütlelidir ve dönüm noktası (sabit ekseni) etrafında bir $I_1$ eylemsizlik momenti vardır.
• Alt çubuk: Dönüm noktası (çubuğun sabit ekseni) kirişin kütle merkeziyle çakışır. Çubuk, dönüm noktası (sabit ekseni) etrafında bir $I_2$ eylemsizlik momentine sahiptir.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$)
  : Sol ve sağ taraflar için, sırasıyla, kefenin ve üzerine yerleştirilen nesnelerin toplam kütlesi.
  
  (Bölüm B’deki gösterimden farklı olduğuna dikkat edin.)
• $l$: Merkezi dönme noktasından geçen dik orta doğrudan kefe asılma noktasına olan yatay uzaklık
• $g$: Yerçekimi ivmesi.

Ağırlıkların kefelere göre hareketsiz kaldığı ve onlarla birlikte hareket ettiği, ayrıca kefelerin pivotları ile çubuğun pivotunun aynı doğru üzerinde bulunduğu varsayılmaktadır.

C1  ^1.40 Kefelere ($m_1 > m_2$ ) farklı kütleli iki ağırlık yerleştirildiğinde, terazi başlangıçta yatay konumda tutulur ve ardından durgun halden serbest bırakılır. Bu durumda, $\theta$ eğim açısı için hareketin ikinci dereceden diferansiyel denklemi şu şekli alır:

$A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$ .

Verilen değişkenler ve parametreler kullanılarak $A,B$ ve $C$ katsayılarını bulun. yatay konumda $\theta = 0$ olarak alın.

C2  ^1.90 Terazi denge durumundayken ($\theta = \theta_0$), küçük bir bozucu etki, çubukların ve kefelerin denge açısı etrafında salınım yapmasına neden olur. Bu küçük salınımı analiz etmek için $\eta = \theta - \theta_0$ şeklinde yeni bir değişken tanımlarız. C.1 bölümünde elde edilen hareket denklemini yaklaştırarak, $\eta$ için verilen değişkenler ve parametreler cinsinden bir denklem türetiniz. Cevap $\theta_0$ içermemelidir.

C3  ^0.60 Toplam kütle $m_1 + m_2$ sabit ise, küçük salınımların periyodunu en üst düzeye çıkarmak için kütlenin kefeler arasında nasıl dağıtılması gerektiğini belirleyin. $m_1 = m_2 = 0$ sınırında/limitinde küçük salınımların periyodunu hesaplayın.