Trong đời sống hằng ngày, người ta sử dụng nhiều loại cân khác nhau để đo khối lượng của vật. Bài toán này đề cập đến các nguyên lý vật lý liên quan đến cân đòn và cân Roberval. Mặc dù hai loại cân này có vẻ ngoài khá giống nhau, chúng có cấu trúc hơi khác nhau và do đó có nguyên tắc hoạt động khác nhau.

Ta giả thiết rằng tại các điểm tựa có ma sát nhỏ, nhờ đó cân cuối cùng có thể dừng lại. Tuy nhiên, ma sát này đủ nhỏ để không ảnh hưởng đến góc cân bằng được xác định từ điều kiện cân bằng mômen lực. Vì vậy, trong các tính toán, có thể bỏ qua ma sát và lực cản của không khí.

A. Độ nhạy của cân đòn

Một cân đòn gồm một thanh đòn quay quanh một trục cố định, gọi là điểm tựa hoặc trục quay, và hai đĩa cân có khối lượng bằng nhau được treo ở hai phía của thanh đòn. Nếu khối lượng đặt trên hai đĩa cân khác nhau, thanh đòn sẽ nghiêng về phía nặng hơn để đạt tới trạng thái cân bằng.

Trong quá trình thanh đòn chuyển động, các đĩa cân được treo có thể dao động. Mặc dù lực do hệ gồm đĩa cân và vật đặt trên đĩa cân tác dụng lên thanh đòn có thể thay đổi theo thời gian do dao động này, trong bài toán này ta xấp xỉ lực đó bằng tổng trọng lượng của đĩa cân và vật đặt trên đĩa cân, tức là bỏ qua ảnh hưởng của dao động của đĩa cân.

Nếu chỉ với một chênh lệch khối lượng nhỏ mà thanh đòn đã nghiêng một góc lớn, thì cân được xem là có độ nhạy cao. Phần A của bài toán khảo sát vấn đề độ nhạy này.

Thanh đòn được giả thiết là một tấm phẳng có bề dày không đáng kể. Gọi $O$ là điểm cố định, còn $L$ và $R$ lần lượt là các điểm treo đĩa cân bên trái và bên phải. Khối tâm của thanh đòn trùng với điểm $O$, như trong Hình 2. Trục quay đi qua $O$ và vuông góc với thanh đòn. Các tham số vật lý và biến số có thể liên quan đến cân đòn và độ nhạy của nó được liệt kê như sau.

• $b$: Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa $O$ và đường thẳng nối $L$ với $R$
• $l$: Khoảng cách từ đường trung trực của thanh đòn đi qua $O$ đến các điểm $L$ và $R$
• $g$: Gia tốc trọng trường
• $M$: Khối lượng của thanh đòn
• $m_1$: Tổng khối lượng của đĩa cân bên trái và vật đặt trên đĩa cân đó.
• $m_2$: Tổng khối lượng của đĩa cân bên phải và vật đặt trên đĩa cân đó.

Khi $m_1 > m_2$, thanh đòn nghiêng ngược chiều kim đồng hồ một góc $\theta_0$ để đạt tới trạng thái cân bằng.

A1  ^0.30 Khi thanh đòn nghiêng một góc $\theta$ ngược chiều kim đồng hồ so với phương ngang, hãy tìm độ lớn của mômen lực đối với O do đĩa cân bên trái và vật đặt trên đĩa cân đó gây ra. Chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương.

A2  ^0.30 Khi thanh đòn nghiêng một góc $\theta$ ngược chiều kim đồng hồ so với phương ngang, hãy tìm mômen lực do đĩa cân bên phải và vật đặt trên đĩa cân đó (có tổng khối lượng $m_2$) tác dụng lên thanh đòn và có xu hướng làm thanh đòn quay theo chiều kim đồng hồ.

A3  ^0.40 Hãy tìm biểu thức góc nghiêng $\theta_0$ tại vị trí cân bằng theo các biến và tham số đã cho.

A4  ^0.30

Để làm cho cân nhạy hơn (tức là để góc nghiêng $\theta_0$ lớn hơn đối với một chênh lệch khối lượng nhỏ) điều kiện nào sau đây đối với $b$ và $l$ là đúng? (Nếu chọn sai phương án sẽ bị trừ 0,1 điểm.)

1. $l$ lớn hơn hoặc $b$ lớn hơn sẽ làm $ $$\mid\theta_0 \mid$ lớn hơn.
2. $l$ nhỏ hơn hoặc $b$ nhỏ hơn sẽ làm $\mid\theta_0\mid$ lớn hơn.
3. $l$ lớn hơn hoặc $b$ nhỏ hơn sẽ làm $\mid\theta_0\mid$ lớn hơn.
4. $l$ nhỏ hơn hoặc $b$ lớn hơn sẽ làm $\mid\theta_0\mid$ lớn hơn.

Thanh đòn của một cân đòn thương mại thường được chế tạo sao cho trục quay, (tức điểm tựa $O$) nằm cao hơn khối tâm (CM) của thanh đòn. Tuy nhiên, cách chế tạo như vậy làm giảm độ nhạy của cân đòn. Để khắc phục vấn đề này và thiết kế một cân có độ nhạy cao hơn, ta dự định thay đổi cấu trúc của thanh đòn. Một phương án được xét đến là thiết kế lại thanh đòn sao cho điểm tựa ($O$) của thanh đòn nằm phía dưới khối tâm (CM) của thanh, như được minh họa trên Hình 3. Giả sử điểm tựa của thanh đòn nằm thấp hơn khối tâm một khoảng $d$. Thanh đòn được giả thiết là một tấm phẳng có bề dày không đáng kể. Ý nghĩa của các đại lượng $M, L, R, b, l, m_1, m_2, g$ đối với cân này giống như trong phần trước.

A5  ^0.80 Khi thanh đòn nghiêng một góc $\theta_1 (< \pi/2)$ so với phương ngang để đạt tới trạng thái cân bằng, hãy tìm biểu thức góc nghiêng $\theta_1$theo các biến và tham số đã cho.

A6  ^0.40 Hãy tìm điều kiện để thanh đòn đạt tới một góc cân bằng bền $\theta_1 ( < \pi/2 )$. Biểu diễn điều kiện đó dưới dạng một bất đẳng thức không phụ thuộc vào $\theta_1$.

B. Mô hình cơ bản của cân Roberval

Cân Roberval sử dụng một cấu trúc liên kết song song, trong đó các đĩa cân được nối với hai thanh ngang, gồm thanh trên và thanh dưới. Hai thanh này được nối với các đĩa cân, bằng các điểm tựa, đóng vai trò như các khớp bản lề. Cách liên kết đặc biệt này cho phép đường nối hai điểm tựa của mỗi đĩa cân luôn giữ phương thẳng đứng, ngay cả khi các thanh ngang bị nghiêng (xem Hình 4 và 5). Khi các thanh quay, các đĩa cân chuyển động đồng bộ với nhau. Một đặc điểm riêng của thiết kế này là sự cân bằng chỉ phụ thuộc vào tổng khối lượng ở mỗi bên; vị trí đặt các vật trên đĩa cân không ảnh hưởng đến kết quả cân. Các tham số, biến số và ký hiệu vật lý có thể liên quan đến cân Roberval được cho như sau (xem Hình 5).

• $O, O'$: các điểm tựa cố định của hai thanh ngang.
• $ I_1$: Mômen quán tính của thanh trên đối với trục quay của nó.
• $I_2$: Mômen quán tính của thanh dưới đối với trục quay của nó.
• $l$: Khoảng cách từ điểm tựa ở giữa đến điểm treo đĩa cân
• $x_L, x_R$: Lần lượt là độ lệch theo phương ngang của các vật đặt trên đĩa cân so với tâm của đĩa cân bên trái và bên phải.
• $m$: Khối lượng của mỗi đĩa cân.
• $m_L, m_R$: Lần lượt là khối lượng của vật đặt trên đĩa cân bên trái và bên phải. ($m_L \ge m_R$)
• $g$: Gia tốc trọng trường.

Giả thiết rằng khối tâm của mỗi thanh trùng với điểm tựa của thanh đó, và các điểm tựa của các đĩa cân cùng với điểm tựa của thanh nằm trên cùng một đường thẳng.

B1  ^0.30 Hãy tính tổng thế năng của hệ $U(\theta)$, khi các thanh nghiêng một góc $\theta$ ngược chiều kim đồng hồ so với phương ngang ($m_L \ge m_R$). Chọn gốc thế năng $U$ bằng không ứng với vị trí ban đầu các thanh nằm ngang.

B2  ^0.50 Hãy tìm biểu thức tổng động năng của hệ theo các biến, các tham số đã cho và vận tốc góc $\dot{\theta}$.

B3  ^0.60 Hãy thiết lập phương trình vi phân bậc hai mô tả sự biến đổi của góc quay $\theta$.

Gia tốc góc $\ddot{\theta}$ tại thời điểm các thanh được thả ra từ vị trí nằm ngang được cho bởi biểu thức sau:

$$\ddot{\theta} = \frac{(m_L - m_R)gl}{I_1 + I_2 + (2m + m_L + m_R)l^2}$$

B4  ^1.00 Tại thời điểm khi vận tốc ban đầu bằng không, gọi $T_{L1}, T_{L2}$ lần lượt là độ lớn của các thành phần theo phương thẳng đứng của các lực tác dụng giữa đĩa cân bên trái với thanh trên và thanh dưới. Tương tự, gọi $T_{R1}, T_{R2}$ là độ lớn của các thành phần theo phương thẳng đứng của các lực tương ứng đối với đĩa cân bên phải. Hãy tìm biểu thức $(T_{L2} + T_{R1})$ theo các biến và tham số đã cho.

B5  ^0.60 Giả thiết rằng tất cả các bộ phận của cân, bao gồm các thanh và các đĩa cân, đều là các vật rắn. Hãy xác định xem từng lực dưới đây có thể tính được tại thời điểm thả cân hay không. Với mỗi lực, hãy trả lời bằng Yes (Có), No (Không), hoặc để trống. Nếu chọn sai, mỗi ý sẽ bị trừ 0,1 điểm.

1. $T_{R1}$
2. Thành phần theo phương thẳng đứng của lực do điểm tựa ở giữa tác dụng lên thanh trên.

Hãy thiết lập đủ số phương trình liên hệ cần thiết cho bài toán này. Chú ý rằng em chỉ cần viết dạng các phương trình kể cả khi không xác định được các lực trên.

B6  ^0.60 Gọi $M_T$ là khối lượng của cân khi chưa đặt thêm vật nào lên các đĩa cân. Các vật có khối lượng $m_L$ và $m_R$ ($m_L > m_R$) lần lượt được đặt lên đĩa cân bên trái và bên phải. Ban đầu, các thanh được giữ nằm ngang bằng tay, sau đó được thả ra. Hãy tìm lực pháp tuyến $N$ do sàn nhà tác dụng lên cân ngay sau khi thả.

C. Mô hình thực tế của cân Roberval

Trong mô hình cơ bản của cân Roberval đã xét đến ở Phần B, sự mất cân bằng khối lượng gây ra gia tốc góc liên tục, làm cho cân không thể đạt tới một góc cân bằng tĩnh. Trái lại, một cân Roberval trong thực tế đạt tới trạng thái cân bằng bền tại một góc nghiêng xác định, phụ thuộc vào độ chênh lệch khối lượng. Trong Phần C, ta sẽ phân tích cấu trúc vật lý của loại cân Roberval thực tế này.

Để tìm góc cân bằng theo độ chênh lệch khối lượng, ta xét các biến và tham số sau:

• Thanh trên: Điểm tựa, tức trục quay cố định của thanh, nằm cao hơn khối tâm của thanh một khoảng $d$ theo phương thẳng đứng. Thanh có khối lượng $M$ và mômen quán tính $I_1$ đối với điểm tựa, tức trục quay cố định của nó.
• Thanh dưới: Điểm tựa, tức trục quay cố định của thanh, trùng với khối tâm của thanh. Thanh có mômen quán tính $I_2$ đối với điểm tựa, tức trục quay cố định của nó.
• $m_1, m_2$$$ ($m_1 \ge m_2$): Theo thứ tự là khối lượng tổng cộng của đĩa cân và các vật đặt trên đĩa cân ở bên trái và bên phải (Chú ý sự khác nhau về ký hiệu so với Phần B).
• $l$: Khoảng cách từ đường thẳng đi qua điểm tựa của hai thanh khi nằm ngang đến điểm treo đĩa cân.
• $g$: Gia tốc trọng trường.

Coi rằng các vật đặt trên đĩa cân đứng yên so với đĩa cân và chuyển động cùng với đĩa cân, đồng thời, các điểm tựa của các đĩa cân và điểm tựa của thanh nằm trên cùng một đường thẳng.

C1  ^1.40 Khi hai vật có khối lượng khác nhau được đặt lên các đĩa cân ($m_1 > m_2$), ban đầu các thanh được giữ ở vị trí nằm ngang rồi sau đó được thả ra từ trạng thái nghỉ. Trong tình huống này, phương trình vi phân bậc hai mô tả chuyển động của góc nghiêng $\theta$ có dạng : $A \ddot{\theta}=B\cos\theta+C\sin\theta$.

Hãy tìm các hệ số $A,B$ và $C$ theo các biến và tham số đã cho. Lấy $\theta = 0$ ứng với vị trí nằm ngang.

C2  ^1.90 Khi cân ở trạng thái cân bằng ($\theta = \theta_0$), một nhiễu loạn nhỏ làm cho các thanh và các đĩa cân dao động quanh góc cân bằng. Để phân tích dao động nhỏ này, ta định nghĩa biến mới $\eta = \theta - \theta_0$. Bằng cách lấy gần đúng phương trình chuyển động thu được ở Phần C.1, hãy thiết lập phương trình mô tả sự biến đổi của $\eta$ theo các biến và tham số đã cho. Phương trình trên không được chứa $\theta_0$.

C3  ^0.60 Nếu tổng khối lượng $m_1 + m_2$ là không đổi, hãy xác định cách phân bố khối lượng giữa hai đĩa cân để chu kì ứng với dao động nhỏ đạt giá trị lớn nhất. Hãy tìm biểu thức chu kì dao động nhỏ khi $m_1 = m_2 = 0$.