В этой задаче мы рассмотрим один из процессов, ответственных за торможение заряженных частиц при прохождении через вещество в пределе низких энергий. Вещество состоит из атомов с атомным номером $Z_0$ и концентрацией $n_0$.

По ходу задачи мы будем рассматривать релятивистские эффекты, поэтому напомним, что при переходе в систему отсчета, двигающуюся вдоль оси $x$ со скоростью $u$ (буст вдоль оси $x$) координаты преобразуются, как поворот в пространстве Минковского:
\[
\begin{cases}
ct' = ct \cosh \theta - x \sinh \theta \\
x' = x \cosh \theta - ct \sinh \theta \\
y' = y \\
z' = z \\
\end{cases},\]
где $\sinh \theta = \gamma_u u/c$, $\cosh \theta = \gamma_u$ и $\gamma_u = 1/\sqrt{1-u^2/c^2}$.

Пусть мюон (частица массой $M$ и зарядом $-e$) движется с большой скоростью $v$ внутри вещества, при этом $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2} \ll M/m$. Допустим, что он взаимодействует с некоторой частицей массы $m$ и зарядом $Ze$, при этом пролетая на расстоянии $b$ от нее практически не отклоняясь и практически не меняя скорости. В лабораторной системе отсчета (ЛСО) частица покоится в начале координат, а координаты мюона: $x=vt$, $y=b$, $z=0$. Рассмотрим систему отсчета мюона (СОМ).

A1 Как зависят координаты $x_1',y_1'$ мюона в СОМ от времени $t$ в ЛСО? Как зависят координаты $x_2',y_2'$ частицы в СОМ от времени $t$ в ЛСО? Ответы выразите через $\gamma$, $v$ и $t$.

A2 Запишите электрическое $\vec{E}'$ и магнитное $\vec{B}'$ поле, которое создает мюон в СОМ в точке нахождения частицы. Ответ выразите через $e, \varepsilon_0$, $b$, $\gamma$, $v$, $t$.

При бусте со скоростью $u$ вдоль оси $x$ ЭМ поле преобразуется следующим образом:
\begin{cases}
E'_x = E_x\\
B'_x = B_x \\
\vec{E}'_\perp = \gamma_u \left(\vec{E}_\perp + u \hat{x} \times \vec{B} \right) \\
\vec{B}'_\perp = \gamma_u \left(\vec{B}_\perp - \frac{u}{c^2} \hat{x} \times \vec{E} \right) \end{cases}
где индекс $\perp$ обозначает компоненту поля перпендикулярную оси $x$, а $\hat{x}$ – единичный вектор вдоль оси $x$.

A3 Запишите электрическое $\vec{E}$ и магнитное $\vec{B}$ поле, которое создает мюон в ЛСО в точке нахождения частицы. Ответ выразите через $e, \varepsilon_0$, $b$, $\gamma$, $v$, $t$.

Частица, находясь, в ЭМ поле мюона, начинает двигаться под действием электрического поля. Считайте, что частица остается классической, то есть приобретенный из-за взаимодействия с мюоном импульс $\Delta p \ll mc$.

A4 Выразите $|\Delta p|$ через $Z$, $e$, $\varepsilon_0$, $b$, $v$ и
\[I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}.\]Считайте, что частица не успевает сдвинуться за время взаимодействия с мюоном. Вдоль какой оси изменился импульс частицы?

Для вычисления интеграла $I$ полезна гипертригонометрическая замена $x = \sinh u$.

A5 Найдите $|\Delta p|$. Ответ выразите через $Z$, $e$, $\varepsilon_0$, $b$, $v$.

Если в ходе взаимодействия с мюоном частица приобрела импульс $|\Delta p|$, то она приобрела энергию $\Delta E = |\Delta p|^2/(2m)$, а мюон потерял эту же энергию.

A6 Найдите $\Delta E$. Ответ выразите через $Z$, $e$, $\varepsilon_0$, $b$, $v$, $m$.

Учитывая, что отношение массы протонов к массе электронов $m_p/m_e = 1836$, и в твердом веществе электронов гораздо больше чем протонов, будем считать, что только электроны вносят вклад в торможение мюона. При этом процесс, описывающийся формулой, полученной в пункте A6, происходит только для $b_\text{min} < b < b_\text{max}$.

A7 Вычислите удельные на единицу длины вещества $L$ потери энергии мюона $dE/dL$. Ответ выразите через $Z_0$, $n_0$, $e$, $\varepsilon_0$, $v$, $m_e$, $b_\text{max}/b_\text{min}$.

Верхнее обрезание $b_\text{max}$ связана с тем, что когда мюон пролетает далеко от электрона, то он слишком медленно с ним взаимодействует, и поэтому взаимодействует не с отдельным электроном а со всем атомом: $b_\text{max} \approx \gamma v / \omega_0$, где $\omega_0$ - частота вращения электрона вокруг атома.

Нижнее обрезание $b_\text{min}$ связано с квантовыми эффектами и равно длине волны де-Бройля электрона в СОМ $\hbar/(\gamma m_ev)$.