Запишем, как преобразуются координаты мюона $(t,vt,b,0)$ из ЛСО в СОМ. СОМ двигается относительно ЛСО со скоростью $v$ в направлении оси $x$:
\[
\begin{cases}
ct_1' = ct \cosh \theta - vt \sinh \theta = \gamma c t (1 - v^2/c^2) = \frac{ct}{\gamma}\\
x_1' = vt \cosh \theta - ct \sinh \theta = \gamma ct ( v/c - v/c) = 0 \\
y_1' = b
\end{cases}
\]

Теперь запишем, как преобразуются координаты частицы $(t,0,0,0)$ из ЛСО в СОМ.
\[
\begin{cases}
ct_2' = ct \cosh \theta = \gamma ct \\
x_2' = -ct \sinh \theta = -\gamma vt\\
y_2' = 0\\
\end{cases}
\]

В СОМ поле мюона является электростатическим
\[
\vec{E}' = \frac{-e}{4 \pi \varepsilon_0}
\begin{pmatrix}
\frac{-\gamma vt}{(b^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\ \frac{-b}{(b^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\ 0
\end{pmatrix}
, \quad \vec{B}' = 0\]

Чтобы вычислить поля $\vec{E}$ и $\vec{B}$ нужно применить буст со скоростью $-v$ в направлении оси $x$.
\[
\vec{E} = \frac{-e}{4 \pi \varepsilon_0}
\begin{pmatrix}
\frac{-\gamma vt}{(b^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\
\frac{-\gamma b}{(b^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\
0
\end{pmatrix}
, \quad
\vec{B} = \frac{\gamma v}{c^2} \frac{-e}{4 \pi \varepsilon_0}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
\frac{- b}{(b^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\
\end{pmatrix}
\]

Взаимодействие с магнитным полем мало из-за того, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью света. Из симметрии $E_x$ относительно $t \to -t$ видно, что суммарный импульс, приобретенный вдоль оси $x$ равен нулю.

\[ |\Delta p| = \left|\int\limits_{-\infty}^{+\infty} Ze E_y \, dt \right| = \frac{|Z|e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\gamma b }{(b^2 + \gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} dt \]Замена $x=\gamma v t /b$ приводит это выражение к виду
\[|\Delta p | = \frac{|Z|e^2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{bv} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}\]

С помощью замены $x = \sinh u$ получаем
\[ I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cosh u }{\cosh^3 u} du = \int\limits_{-1}^{+1} d ( \tanh u ) = 2\]

Выделим тонкостенный цилиндр длины $dL$, радиуса $b$ и толщины $db$ внутри вещества. Внутри этого цилиндра находится $Z_0 n_0 \cdot 2\pi b \, db \, dL$ электронов. Тогда потери энергии
\[dE = Z_0 n_0 \, dL \int\limits_{b_\text{min}}^{b_\text{max}} \frac{e^4}{8 \pi^2 \varepsilon_0^2} \frac{1}{m_ev^2b^2} \cdot 2 \pi b \, db = Z_0 n_0 \, dL \, \frac{e^4}{4\pi \varepsilon_0^2} \frac{1}{m_e v^2} \ln \frac{b_\text{max}}{b_\text{min}} \]