На рисунке (a) показана непрозрачная перегородка, в которой проделано небольшое круглое отверстие радиусом $OM=1.00~\text{мм}$. В качестве источника света используется водородно-неоновый лазер с длиной волны $\lambda=632.8~\text{нм}$, параллельный пучок света которого падает на отверстие слева. Справа на оси симметрии отверстия находится точка $P$. Волну в этой точке можно рассматривать как комбинацию волн от полуволновых зон. Обозначим $r_0=PO$, тогда сферы с центром в точке $P$ радиусами $r_0+\frac{\lambda}2$, $r_0+2\frac{\lambda}2$, $r_0+3\frac{\lambda}2$, $\ldots$ разбивают отверстие на $N\in\mathbb N$ колец. Расстояние от точки $P$ до края отверстия $M$ равно $r_0+N\frac\lambda2$, а кольцо с наименьшим радиусом представляет собой круг. Каждое такое кольцо называется полуволновой зоной, поскольку разность оптический путей от его краёв до точки $P$ равна $\frac\lambda2$. Ясно, что количество зон $N$ определяется положением точки $P$.

1 Если $N=2n+1$, найдите расстояние $r_0$ до точки $P_0$ ($P_0$ — крайняя справа яркая точка, называемая главным фокусом) и расстояние $r_1$ до точки $P_1$ ($P_1$ — тоже яркая точка, располагающаяся левее $P_0$, называемая вторичным фокусом).

Пусть теперь $N=4$, и в первой и третьей волновых зонах помещён прозрачный материал, при прохождении через который оптический путь света увеличивается на $\frac\lambda2$ (см. рисунок (b)).

2.1 Найдите расстояние $r'_0$ до главного фокуса $P'_0$ такой пластинки.

2.2 Найдите расстояние $r'_{-1}$ до вторичного фокуса $P'_{-1}$, находящегося непосредственно слева от главного.

2.3 Найдите расстояние $r'_{+1}$ до вторичного фокуса $P'_{+1}$, находящегося непосредственно справа от главного.

Зонную пластинку можно использовать не только для фокусировки света, но и для формирования изображения. Рассмотренный выше процесс фокусировки параллельного пучка эквивалентен ситуации, когда предмет находится на бесконечности, а расстояние до изображения равно фокусному. Пусть теперь точечный источник света расположен слева от $O$ на расстоянии $s=3~\text{м}$ в точке $S$ на оси симметрии. Как показано на рисунке (c), его изображение обозначим $S'$.

3.1 Найдите $OS'$, соответствующее главному фокусу зонной пластинки. Справедлива ли формула тонкой линзы?

3.2 Если пластинка формирует несколько изображений, на каком расстоянии $s'$ от $O$ формируется изображение, ближайшее к рассмотренному в предыдущем пункте? Чему равно фокусное расстояние $f'$ соответствующего вторичного фокуса (формула тонкой линзы неприменима)?

3.3 Если предмет расположен слева от зонной пластинки на расстоянии $\frac{OP'_0}2$ от точки $O$, найдите расстояния $s''$ и $s'''$ до главного и вторичного изображений, соответствующих фокусам, рассмотренным в предыдущем пункте (формула тонкой линзы также неприменима). Действительные они или мнимые?