Пренебрегая внутренним сопротивлением источника и сопротивлением проводов, найдите все значения $R$, при которых дуговая лампа устойчиво горит, выделяя не менее половины всей мощности, затрачиваемой источником. Считайте заданными постоянные значения $a=55~В$ и $b=50~В\cdotА$.

Нарисуем на графике нагрузочную прямую последовательно соединенных $\mathcal{E}$ и $R$ и ВАХ дуговой лампы. Возможны три случая.

В случае $1$ вообще нет положений равновесия.
В случае $2$ положение равновесия одно и неустойчиво: при отклонении влево напряжение на дуге будет больше, чем допускает нагрузочная прямая, следовательно, $i$ будет далее уменьшаться.
В случае $3$ есть два положения равновесия. Анализом, как в случае $2$, можно понять, что левое положение не устойчиво, а правое — устойчиво.
$$\mathcal{E}-iR=a+\frac{b}{i}.$$
$$i^2R+i(a-\mathcal{E})+b=0.$$
Для того, чтобы положение равновесия было устойчивым, должно выполнятся следующее условие:
$$D=(a-\mathcal{E})^2-4bR > 0.$$
$$R < \frac{(\mathcal{E}-a)^2}{4b}=105.125~Ом.$$
При больших $R$ либо одно неустойчивое положение равновесия, либо их нет вообще.
Для устойчивого положения равновесия (выбираем больший корень):
$$i=\frac{\mathcal{E}-a+\sqrt{(a-\mathcal{E})^2-4bR}}{2R}.$$
Чтобы выделялось не менее $1/2$ всей мощности источника на лампе, необходимо, чтобы $U_{Д} \ge \frac{\mathcal{E}}{2}$.

$$U_{Д}=\mathcal{E}-iR=\frac{\mathcal{E}+a-\sqrt{(a-\mathcal{E})^2-4bR}}{2} \ge \frac{\mathcal{E}}{2}$$
$$a \ge \sqrt{(a-\mathcal{E})^2-4bR}.$$
$$4bR \ge (V-a)^2-a^2.$$
$$R \ge \frac{(\mathcal{E}-a)^2-a^2}{4b}=90~Ом.$$