Logo
Logo

Душ

A1  10.00 При каких значениях $F$ стержень может совершить полный оборот вокруг оси вращения?

Пусть в положении равновесия угол между стержнем и вертикалью равен $\varphi$, причём он отсчитывается от нижнего положения частицы. Тогда из условия равновесия получим выражение для силы $F$
$$F=mg\sin\varphi$$
Отметим, что $0\leq{\varphi}\leq{\frac{\pi}{2}}$, поскольку иначе положение равновесия неуйстойчиво.
Проанализируем последующее движение. Пусть $\alpha$ --- угол поворота стержня от начального положения, а $L$ - его длина. Из второго закона Ньютона для тангенциального ускорения можно получить
$${a_{\tau}}=\frac{F}{m}+g\sin(\varphi-\alpha)=g(\sin\varphi+\sin(\varphi-\alpha))$$

Из выражения следует, что при $0\leq{\alpha}\leq{2\varphi}$ частица разгоняется, при $2\varphi<\alpha\leq{\pi}$ --- замедляется, и при $\pi<\alpha\leq{2(\pi+\varphi)}$ вновь разгоняется. Запишем закон сохранения механической энергии в произвольный момент времени
$$-mgL\cos\varphi+FL\alpha=-mgL\cos(\varphi-\alpha)+\frac{mv^2}{2}
$$
Если остановка частицы происходит при значениях $\alpha<\pi$, то в дальнейшем частица будет двигаться в области, ограниченной двумя положениями её нулевой скорости. Если же частица преодолевает данный барьер, то при $\alpha>\pi$ её кинетическая энергия будет возрастать. Таким образом, необходимым условием полного оборота является ненулевая скорость в момент $\alpha=\pi$, или же
$$v^2={\frac{2{\pi}LF}{m}-4gL\cos\varphi}\geq{0}
$$
Выразим $cos(\varphi)$ из первого соотношения
$$\cos\varphi=\sqrt{1-\left(\frac{F}{mg}\right)^2}
$$
Из последних двух соотношений получим
$$\frac{{\pi}F}{2}\geq{\sqrt{(mg)^2-F^2}}
$$
Также из условия равновесия стержня ясно, что
$$F\leq{mg}
$$
и окончательный диапазон значений $F$

Ответ: $$mg\geq{F}\geq{\frac{mg}{\sqrt{1+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}}}$$