A1  ^3.00 Определите зависимость давления газа $p$ от температуры $T$ в левой части сосуда.

Запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для обеих частей сосуда
$$pV_л={\nu}RT
$$
$$pV_п={\nu}RT_0
$$
Учтём неизменность объёма сосуда
$${V_л}+V_п=2V_0
$$
Из данных соотношений вытекает следующее
$$p=\frac{{\nu}R\left(T+T_0\right)}{2V_0}
$$
В начальный момент
$$p_0=\frac{{\nu}RT_0}{V_0}
$$
откуда

A2  ^7.00 Для этого процесса определите, как теплоёмкость газа в левой части сосуда зависит его объёма $V$.

Из первого начала термодинамики
$$\Delta{Q}=\Delta{U}+p\Delta{V}
$$
Откуда
$$C={C_V}+\frac{p\Delta{V}}{\Delta{T}}
$$
Выражая давление из уравнения Менделеева-Клапейрона
$$C={C_V}+\frac{{\nu}RT}{V}\frac{\Delta{V}}{\Delta{T}}
$$
При небольших изменений параметров газа справедливо соотношение
$$\frac{\Delta{p}}{p}+\frac{\Delta{V}}{V}=\frac{\Delta{T}}{T}
$$
Учитывая выражение для давления, полученное в первом пункте
$$\frac{\Delta{V}}{V}=\frac{\Delta{T}}{T}-\frac{\Delta{T}}{T+T_0}
$$
откуда
$$\frac{T}{V}\frac{\Delta{V}}{\Delta{T}}=1-\frac{T}{T+T_0}
$$
Выразим объём из уравнения менделеева-Клапейрона
$$V=\frac{2{V_0}T}{T+T_0}
$$
Комбинируя последние два уравнения
$$\frac{T}{V}\frac{\Delta{V}}{\Delta{T}}=1-\frac{V}{2V_0}
$$
Окончательно получим