При какой скорости $v$ поступательного движения волчок не ударится о край стола, соскочив с него? Ось волчка остается вертикальной.

Перейдем в СО волчка.
Край стола движения с начальной скоростью $-\vec v$ и ускорением $-\vec g$ в этой СО.
$$
\begin{aligned}
& x(t)=v t \quad \Rightarrow t=\frac{x}{v} \\
& y(t)=\frac{g t^2}{2} \quad \Rightarrow \quad y=\frac{g}{2 v^2} x^2
\end{aligned}
$$Траектория края стола — парабола $y=\frac{9}{2 v^2} x^2$ с рогами вверх. $x=\sqrt{\frac{y \cdot 2 v^2}{g}}$. Т.к. парабола выпукла вниз, то волчок не заденет стола тогда и только тогда, когда точка $B$ левее точки $x$, т.е.
$$
\sqrt{\frac{H \cdot 2 v^2}{g}}>r \Leftrightarrow v>\sqrt{\frac{g}{2 H}} r .
$$